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Correction algorithme BAC STL Bio 2013 (France - septembre)

New postby critor » 01 Mar 2014, 03:08

Intéressons-nous ce soir à l'algorithme qui est tombé en France en septembre 2013 au BAC STL spécialité biotechnologies, un algorithme sur les suites géométriques:
Image


Question 1)a)

Chaque année, le salaire de Monsieur Durand augmente de 1,7%.
Le coefficient multiplicateur associé est alors 1+
$mathjax$\frac{1,7}{100}$mathjax$
=1,017.
Donc: an+1=an×1,017.
Notons que (an) est une suite géométrique de raison 1,017.


Question 1)b)

De plus, le salaire initial en 2012 étant de 1300€, on a a0=1300.
Donc: an=a0×1,017n=1300×1,017n.


Question 2)

Chaque année, le salaire de Madame Martin augmente de 2,3%.
Le coefficient multiplicateur associé est alors 1+
$mathjax$\frac{2,3}{100}$mathjax$
=1,023.
Donc: bn+1=bn×1,023.
Notons que (bn) est une suite géométrique de raison 1,023.
De plus, le salaire initial en 2012 étant de 1150€, on a b0=1150.
Donc: bn=b0×1,023n=1150×1,023n.


Question 3)a)

Il est possible de faire fonctionner l'algorithme sans calculatrice en réalisant une trace.
Il s'agit d'un tableau donnant l'état de toutes les variables utilisées par l'algorithme, à chaque exécution d'une nouvelle instruction.
Instruction exécutéeBNAffichage
B prend la valeur 13001300
N prend la valeur 013000
Remplacer N par N+113001
Remplacer B par B×1,0171322,11
Remplacer N par N+11322,12
Remplacer B par B×1,0171344,572
Remplacer N par N+11344,573
Remplacer B par B×1,0171367,433
Remplacer N par N+11367,434
Remplacer B par B×1,0171390,684
Remplacer N par N+11390,685
Remplacer B par B×1,0171414,325
Afficher N+20121414,3252017

Le résultat fourni par l'algorithme est donc 2017.

Cette justification par trace n'étant toutefois pas demandée ici, on peut aussi programmer cet algorithme sur notre calculatrice graphique et lui demander le résultat.

Voici par exemple les programmes pour TI-Nspire/89/92/V200 et TI-82/83/84 qui nous confirment le même résultat:
Image Image

La même chose est réalisable si vous êtes doté d'une autre calculatrice. Voici par exemple les programmes équivalents pour Casio Graph/fx-CG et HP-39gII/Prime:
Image Image

Ou encore ci-contre, la version pour Casio Classpad/fx-CP.


Question 3)b)

La valeur affichée N+2012 représente une année.
Or l'algorithme se termine sur sortie de la boucle tant que, c'est-à-dire sur la réalisation du contraire de sa condition de poursuite B≤1400, ce qui donne ici B>1400.
Il s'agit donc de l'année où le salaire de Monsieur Durand dépasse 1400€.


Question 4)a)

Pour l'année où le salaire de Madame Martin dépasse 1500€, il nous suffit de modifier l'algorithme précédent de la façon suivante, puisqu'il s'agit du même type de question:
  • remplacer le salaire initial de 1300 par 1150
  • remplacer le salaire recherché de 1400 par 1500
  • raplacer le coefficient multiplicateur de 1,017 par 1,023
Ce qui nous donne:
Code: Select all
B prend la valeur 1150
N prend la valeur 0
Tant que B≤1500
   Remplacer N par N+1
   Remplacer B par B×1,023
Fin Tant que
Afficher N+2012



Question 4)b)

La réalisation d'une trace de l'algorithme précédent ou les mêmes modifications apportées à nos programmes nous fournissent l'année 2024.

Ce résultat est aussi trouvable algébriquement, méthode que l'on pouvait notamment utiliser si l'on n'arrivait pas à répondre à la question précédente:
bn>1500
1150×1,023n>1500
1,023n>
$mathjax$\frac{1500}{1150}$mathjax$

1,023n>
$mathjax$\frac{30}{23}$mathjax$

$mathjax$\ln\left(1,023^n\right)>\ln\left(\frac{30}{23}\right)$mathjax$

$mathjax$n\times\ln(1,023)>\ln\left(\frac{30}{23}\right)$mathjax$

$mathjax$n>\frac{\ln\left(\frac{30}{23}\right)}{\ln(1,023)}$mathjax$
car ln(1,023)>0
Or,
$mathjax$\frac{\ln\left(\frac{30}{23}\right)}{\ln(1,023)}$mathjax$
≈11,7.
Donc n≥12.
Ce qui confirme bien que le salaire de Madame Martin dépasse 1500€ en 2012+12=2024.


Question 5)

bn>an
1150×1,023n>1300×1,017n
$mathjax$\frac{1,023^n}{1,017^n}>\frac{1300}{1150}$mathjax$

$mathjax$\left(\frac{1,023}{1,017}\right)^n>\frac{26}{23}$mathjax$

$mathjax$\ln\left(\left(\frac{1,023}{1,017}\right)^n\right)>\frac{26}{23}$mathjax$

$mathjax$n\times\ln\left(\frac{1,023}{1,017}\right)>\ln(\frac{26}{23})$mathjax$

$mathjax$n>\frac{\ln\left(\frac{26}{23}\right)}{\ln\left(\frac{1,023}{1,017}\right)}$mathjax$
car
$mathjax$\ln\left(\frac{1,023}{1,017}\right)>0$mathjax$

Or,
$mathjax$\frac{\ln\left(\frac{26}{23}\right)}{\ln\left(\frac{1,023}{1,017}\right)}\approx 20,8$mathjax$

Donc n≥21.
C'est donc en 2012+21=2033 que le salaire de Madame Martin dépassera celui de Monsieur Durand.


Téléchargement
:
BAC STL 2014 - Annales des sujets inédits 2013-2014

Encore une énigme pour gagner une TI-106 II !

New postby AnToX98 » 01 Mar 2014, 12:20



Bonjour à tous !

Pour bien attaquer le weekend,
Texas Instruments France
nous propose une nouvelle
petite énigme
sur leur page facebook, qui est cette fois
visuelle
. :bj:

Pour participer au tirage au sort et tenter de la remporter,
vous devez trouver combien de visages composent l'image ci-dessous.


Image


Répondez à l'enigme en commentant l'image sur leur page (vous devrez aussi avoir aimé leur page) pour tenter de gagner une
TI-106 II
:bj:

Bonne chance à tous et bon weekend !
Link to topic: Encore une énigme pour gagner une TI-106 II ! (Comments: 15)

Correction algorithme BAC STI2D/STL 2013 Nouvelle Calédonie

New postby critor » 01 Mar 2014, 17:56

Aujourd'hui, intéressons-nous à l'exercice d'algorithme et de feuille de calculs est tombé dans le contexte de suites en Nouvelle Calédonie en novembre 2013 à l'épreuve de mathématiques commune aux BAC STI2D et STL spécialité SPCL:



Question A)1)

On souhaite donc obtenir sur une feuille de calculs un tableau de valeur de la suite (un).
Parmi les 4 propositions, on peut déjà éliminer la formule a), qui est la même que d) mais non écrite correctement pour un tableur avec utilisation de la variable n au lieu de la cellule C1.

Pour la formule b) $B$2 correspondrait toujours à u0, et elle code donc la relation un=0,4u0+3.
un ne dépendrait donc pas de n et la suite (un) serait constante, ce qui est trivialement faux selon le tableau de valeurs fourni.

Resteraient les formules c) et d), C2:=B2*0,4+3 et C2:=0,4^C1+3, qui se traduisent algébriquement par un+1=0,4un+3 et un+1=0,4n+3.
d) est donc une formule générale explicite, tandis que c) est une relation de récurrence, identique à la définition de l'énoncé.
C'est donc cette dernière que nous choisissons: réponse c).


Il était aussi possible de réaliser la feuille de calculs sur sa calculatrice graphique et d'y tester les formules une par une.

En effet les TI-Nspire, Casio Graph 75/85/95/fx-CG, HP-39gII/Prime et Casio Classpad/fx-CP disposent d'une application tableur, qui nous confirme que seule le formule c) génère le même tableur de valeurs:
Image Image Image
Remarque: Les Casio Graph 25+Pro et Graph 35+USB ne disposent pas d'une telle application. Mais il est toutefois possible d'installer le système Graph 75/85/95 sur une Graph 35+USB et donc d'y disposer de l'application tableur. :bj:


Sur les TI-82+/83+/84 monochromes, une application tableur dénommée 'CellSheet' est normalement intégrée, si vous ne l'avez pas effacée vous-même en réinitialisant par exemple la calculatrice.
A défaut, il vous suffira de la réinstaller.

Remarque: Il n'existe hélas pas d'application équivalent pour TI-76.fr/82Stats, ni pour la nouvelle TI-84 Plus C couleur à ce jour. Une application officielle était censée sortir à la rentrée pour cette dernière, mais hélas a déjà pris pas mal de retard et a été repoussée deux fois.



Question A)2)

On peut conjecturer que la suite tend vers 5, par valeurs inférieures.
$mathjax$\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=5^-$mathjax$


Question A)3)

On nous suggère donc pour construire l'algorithme d'utiliser le tableau de valeurs, c'est-à-dire de comprendre ce qu'il fait. Cet algorithme s'articule donc autour d'une boucle tant que.
Dans cet algorithme, la variable u contient la valeur d'un terme de la suite (un), puisque initialisée à u0=-1 et modifiée dans la boucle selon la relation de récurrence.
La variable n quant à elle représente le rang, puisque initialisée à 0 et incrémentée de 1 dans la boucle tant que.
L'algorithme s'arrête en renvoyant la valeur de n sur sortie de la boucle tant que, soit sur la réalisation du contraire de la condition de poursuite |u-5|>10-p, c'est-à-dire |u-5|≤10-p.
En sachant de plus que p=2, cela nous donne un arrêt sur |u-5|≤10-2.
cela se traduit algébriquement par:
|un-5|≤10-2
-(un-5)≤10-2 car nous avons conjecturé un-5<0 dans notre contexte
5-un≤10-2
5-10-2≤un
5-0,01≤un
4,99≤un
un≥4,99
Une recherche de cette condition dans le tableau de valeurs fourni nous donne donc n=7.

Il était également possible de ne rien avoir à comprendre de l'algorithme et de se contenter de le programmer sur sa calculatrice graphique afin de lui demander la réponse.
Voici des programmes traduisant cet algorithme et confirmant ce résultat pour TI-76/82/83/84, TI-Nspire/89/92/V200, Casio Graph/fx-CG, HP-39gII/Prime et Casio Classpad/fx-CP:
Image Image Image Image


Question B)1)

(vn) est une suite géométrique de premier terme v0=6 et de raison q=0,4.

Question B)2)

Comme
$mathjax$-1<0,4<1, \lim\limits_{n\to+\infty}(0,4)^n$mathjax$
$mathjax$=0$mathjax$

Donc
$mathjax$\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=\lim\limits_{n\to+\infty}6\times(0,4)^n$mathjax$
$mathjax$=6\times\lim\limits_{n\to+\infty}(0,4)^n$mathjax$
$mathjax$=6\times0$mathjax$
$mathjax$=0$mathjax$


Question B)3)

$mathjax$\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\lim\limits_{n\to+\infty}5-v_n$mathjax$
$mathjax$=5-\lim\limits_{n\to+\infty}v_n$mathjax$
$mathjax$=5-0$mathjax$
$mathjax$=5$mathjax$


Question B)4)a)

$mathjax$(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$mathjax$
étant une suite géométrique,
$mathjax$v_0+v_1+\dots+v_n=v_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$mathjax$
$mathjax$=6×\frac{1-(0,4)^{n+1}}{1-0,4}$mathjax$
$mathjax$=6×\frac{1-(0,4)^{n+1}}{0,6}$mathjax$
$mathjax$=\frac{6}{0,6}\left(1-(0,4)^{n+1}\right)$mathjax$
$mathjax$=10\left(1-(0,4)^{n+1}\right)$mathjax$


Question B)4)b)

$mathjax$u_0+u_1+\dots+u_n=(5-v_0)+(5-v_1)+\dots+(5-v_n)$mathjax$
$mathjax$=(5+5+\dots+5)-(v_0+v_1+\dots+v_n)$mathjax$
$mathjax$=5n-10\left(1-(0,4)^{n+1}\right)$mathjax$




Téléchargements
:

Correction algo BAC S Nouvelle Calédonie (novembre 2013)

New postby critor » 02 Mar 2014, 02:33

Intéressons-nous ce soir à l'algorithme tombé en novembre 2013 à l'épreuve de mathématiques du BAC S en Nouvelle Calédonie.


On nous demande donc de réaliser une sorte de trace simplifiée de l'algorithme, avec les états des variables lors d'étapes importantes.

C'est certes réalisable en papier-crayon en déroulant les instructions une par une mentalement, mais également à la calculatrice graphique, méthode que nous allons détailler ici.



Il suffit en effet de rajouter quelques instructions d'affichages bien placées afin d'obtenir le tableau demandé en plus du résultat. :bj:

L'algorithme s'articule donc autour d'une boucle tant que, et le corps de la boucle devra donc accueillir une instruction d'affichage de l'état des variables.
La seule question restant en suspens est de savoir où placer cet affichage, en début de boucle ou en fin de boucle?

Comme N est initialisé à 2, K à 0 et incrémenté de 1 dans la boucle, et que de plus la condition de poursuite de la boucle est K<N, nous ne rentrerons que deux fois dans celle-ci:
  • une première fois avec K=0
  • une deuxième fois avec K=1
Mais notons que l'énoncé nous demande non pas 2 étapes, mais 3 étapes.
Il faudra donc un affichage supplémentaire, soit avant la boucle, soit après la boucle.
Deux possibilités s'offrent donc à nous pour obtenir 3 affichages différents:
  • affichage de l'état des variables avant la boucle, suivi d'un affichage en fin de boucle
    (effectué deux fois)
  • affichage de l'état des variables en début de boucle
    (exécuté deux fois)
    , suivi d'un affichage des variables après la boucle
Notons qu'ici, le modèle de tableau fourni grise la variable W
(car non encore initialisée)
pour le premier état. C'est donc celui-ci qui doit faire l'objet d'un traitement spécifique, et nous retenons donc le premier choix.
Voici l'algorithme modifié pour nous produire le tableau à recopier:
Code: Select all
Variables:
   N est un entier
   U,V,W sont des réels
   K est un entier
Début:
   Affecter 0 à K
   Affecter 2 à U
   Affecter 10 à V
   Saisir N
   Afficher N,U,V   (*)
   Tant que K<N
      Affecter K+1 à K
      Affecter U à W
      Affecter (2U+V)/3 à U
      Affecter (W+3V)/4 à V
      Afficher N,W,U,V   (*)
   Fin tant que
   Afficher U
   Afficher V
Fin

(*) instructions rajoutées


Il nous suffit donc maintenant de programmer cet algorithme sur notre calculatrice graphique.
Notons que vu que les affectations effectuées dans la boucle sur U et V utilisent des divisions, il faudra selon le modèle préciser que l'on veut bien un résultat exact (fractionnaire ici) et non une écriture décimale approchée.



Voici donc un programme traduisant cet algorithme pour TI-76/82/83/84:
Image Image
L'on précise simplement en prime à la calculatrice que nous souhaitons obtenir notre affichage dans la boucle en écriture fractionnaire si possible.


D'où la solution:
KWUV
0210
1214/38
214/352/943/6



Occupons-nous maintenant des autres modèles de calculatrices.

Si vous disposez d'une TI-Nspire/89/92/V200 ou d'une Casio Graph/fx-CG, le programme équivalent ne nécessite rien de particulier et ne pose donc pas de problème:
Image Image Image Image
Sur Casio, chaque affichage de liste suspend l'exécution du programme. L'on peut à ce moment-là naviguer entre les éléments de la liste et en obtenir l'affichage fractionnaire à l'aide de la touche [F<->D].


Sur HP-Prime, c'est beaucoup plus complexe pour obtenir les formes exactes.
D'une part, il faut spécifier l'utilisation du moteur CAS pour chaque affectation risquant de faire des erreurs d'approximations dans la boucle.
D'autre part, les résultats qu'il fournit sont des expressions et ne peuvent être enregistrés dans les variables numériques usuelles à un caractère. Il faut donc déclarer et utiliser des variables à plusieurs caractères. Nous renommerons donc U en UU, V en VV et W en WW.

Image Image

Et enfin ci-contre sur Casio Classpad/fx-CP.
Il suffit juste de préciser en début de programme que l'on souhaite des résultats exacts si possible, avec 'SetStandard'. En l'absence de cette instruction, c'est le mode courant de l'évaluateur de programmes qui est utilisé, mode dont on ne connaît donc pas l'état à priori.




Téléchargement
:
BAC S 2014 - Annales des sujets inédits 2013-2014

Découvre ou redécouvre la TI-Nspire Cradle Charging Bay!

New postby Neo » 02 Mar 2014, 21:35

Bonjour à tous ! :)
Dans une news précédente, je vous présentais un mystère autour de la TI-Nspire Cradle Charging Bay, sans toutefois rentrer dans les détails.
La TI-Nspire Cradle Charging Bay est assez ancienne, bien que celle que j’ai actuellement soit aussi récente que la TI-Nspire CX Docking Station que je vous ai présenté en vidéo.
3441

Elle permet d’accueillir non seulement les TI-Nspire Lab Cradle qui viennent avec les prêts enseignants, mais aussi les TI-Navigator Wireless Cradle, afin de les recharger. Toutefois, contrairement à la TI-Nspire CX Docking Station, aucune connexion USB n’est possible.
It is designed to charge not only the TI-Nspire Lab Cradle, but also the TI-Navigator Wireless Cradle. Unlike the TI-Nspire CX Docking Station, the Cradle Charging Bay doesn't have any USB plug.
:(
34403415

C’est fort dommage, puisque les TI-Nspire Lab Cradle sont upgradables, leur OS pouvant être mis à jour. Il faudra passer par le port USB situé sur le dessus entre les 2 témoins lumineux pour pouvoir procéder à une mise à jour…
Parlons de ces témoins lumineux ! Tout comme sur la Docking Station, 2 témoins lumineux se trouvent sur les Lab Cradle : une LED d’activité, et une LED verte ou rouge selon le niveau de batterie.

34383439

Fait intéressant, les Lab Cradles utilisent le même type de batteries que celles que l’on trouve dans les TI-Nspire. Toutefois, l’ampérage est un peu plus conséquent (c’est la seule variable changeant selon les modèles), afin de faire face à une utilisation intensive (liée en partie au fait que les capteurs ne sont pas auto-alimentés).
La baie est munie de 5 slots laissant passer non seulement un Cradle, mais aussi une TI-Nspire CX/CX CAS, et même les anciens modèles monochromes !
As a matter of fact, the TI-Nspire Lab Cradle use the same kind of battery pack as the calculators, though the intensity of the electric current is a bit higher. This is intended to cope with the absence of electric power coming from the sensors (they do not work with batteries). The bay has 5 slots, which allow you to plug not only a Cradle, but also a TI-Nspire CX/CX CAS, and even the old TI-Nspire!

3442

Le point négatif de la TI-Nspire Cradle Charging Bay est tout de même l’absence de connectique plus riche pour pouvoir mettre à jour les Cradle aussi simplement que l’on peut faire de même pour les TI-Nspire CX et CX CAS avec la Docking Station. Peut-être dans une future version ?
The only drawback is that it is not possible to update the TI-Nspire Lab Cradle using a USB cable, as it is the case on the TI-Nspire CX Docking Station. Maybe this problem will be solved in a later version?

Nouvel mViewer GX 1.1 avec défilement par écran pour Nspire

New postby critor » 03 Mar 2014, 17:09

2586A l'occasion de la nouvelle année nous avions sorti mViewer GX, un lecteur d'images en Lua pour toutes TI-Nspire sans aucun besoin de Ndless, et un convertisseur en ligne dédié nommé mViewer GX Creator.
Il devenait donc enfin possible en quelques clics de récupérer tel quel n'importe quel document PDF ou image sur sa calculatrice ! :bj:
ImageImage

3240Le lecteur et le convertisseur mViewer GX s'enrichissaient par la suite d'une gestion de la nouvelle calculatrice HP-Prime. Outre la gestion de l'écran tactile, de nombreuses fonctionnalités furent rajoutées à cette occasion dans la version HP-Prime du lecteur, mais hélas pas dans sa version TI-Nspire.

C'est désormais le cas aujourd'hui avec le lecteur mViewer GX pour TI-Nspire qui passe en version 1.1 ! :bj:
D'une part, la version du lecteur et les touches de contrôle sont désormais affichées correctement lorsque l'on fait appel à l'aide en ligne de la calculatrice TI-Nspire, c'est-à-dire sur clavier tactile avec la combinaison de touches ci-dessous: :D
:nsct: :nstr:
Plus besoin d'apprendre les autres touches de contrôle par coeur. ;)


Egalement au menu des nouvelles fonctionnalités:
  • possibilité de faire défiler le document écran par écran, ce qui est souvent plus rapide et pratique, à l'aide des touches numériques:
    :ns1: :ns2: :ns3: :ns4: :ns6: :ns7: :ns8: :ns9:
  • à l'aide de la touche :nses:, possibilité de revenir à tout moment à la taille originelle du document
    (c'est-à-dire en zoom 1:1)
  • à l'aide de la touche :ns0:, possibilité de redimensionner automatiquement le document pour qu'il rentre dans l'écran
    (c'est-à-dire le zoom minimal autorisé)
    , ce qui permet une vue d'ensemble
  • à l'aide de la touche :ns5:, possibilité d'aller au centre du document



Les nouveaux documents créés en ligne à partir de maintenant pour TI-Nspire Lua incluront automatiquement la nouvelle version 1.1 du lecteur mViewer GX.
Pour les documents déjà existants, il vous suffira juste:
  1. d'accéder à la liste de vos documents déjà générés
  2. d'éditer le ou les documents que vous souhaitez mettre à jour avec le nouveau lecteur
  3. de revalider tout simplement le formulaire sans modification


Suite à cette mise à jour, n'hésitez donc pas à signaler tout disfonctionnement inhabituel qui nous aurait échappé.



Lien
:
editgx.php

Nouvel OS 4.2 pour TI-84 Plus C Silver Edition

New postby critor » 04 Mar 2014, 18:58

1982Pour la rentrée 2013 sortait la nouvelle calculatrice TI-84 Plus C Silver Edition, première calculatrice de la famille TI-z80 à bénéficier d'un écran couleur.

Les calculatrices venaient initialement avec un OS
(Operating System = système d'exploitation)
en version 4.0, OS que nous vous présentions déjà il y a tout juste un an.

Texas Instruments publie à l'instant une nouvelle version 4.2 de cet OS, datée selon les informations internes à ce fichier du 17 janvier 2014.

Il n'y a pas eu de publication officielle des modifications, mais il est possible qu'elles concernent uniquement la sécurité du mode examen utilisé en Amérique du Nord et autres détails non visibles pour l'utilisateur, puisque Texas Instruments publie simultanément une nouvelle version 4.2 de l'application dédiée à la gestion de ce mode, TI-TestGuard.
Image

Des problèmes/bugs évidents évidents de l'ancienne version, comme la lenteur de l'affichage particulièrement pénible pour le défilement de gros fichiers dans l'éditeur de programmes par exemple, ou justement le fait que le défilement par écran dans l'éditeur de programmes ne saute que 7 lignes au lieu de 9, héritage des anciens modèles TI-z80 à écran monochrome plus petit, ne semblent toujours pas corrigés.




Téléchargement
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Link to topic: Nouvel OS 4.2 pour TI-84 Plus C Silver Edition (Comments: 6)

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