Puissance décimale d'un nombre négatif

→ **MyCalcs** profile · de **Ragnarok1er** » 20 Déc 2017, 10:18

Bonjour.

En entrant dans ma calculatrice la fonction (-1)^X, la table des valeurs donne des images pour certains X décimaux.
Par exemple, (-1)^1.04 = 1, (-1)^1.08 = -1, alors que les puissances 1.05 1.06 et 1.07 se soldent par des erreurs.
Quelle en est la raison ?

→ **MyCalcs** profile · de **critor** » 20 Déc 2017, 11:55

Bonjour.

La calculatrice donne en effet de temps en temps une erreur "résultat non réel".

Quand tu fais

$mathjax$(-1)^X$mathjax$

avec X décimal, alors X est aussi un nombre rationnel pouvant s'écrire

$mathjax$\frac{a}{b}$mathjax$

avec a et b entiers naturels et b non nul. Cela revient donc à faire

$mathjax$(-1)^\left(\frac{a}{b}\right)$mathjax$

.

Par propriétés de la puissance (Quatrième), on peut réécrire cela

$mathjax$\left((-1)^\left(\frac{1}{b}\right)\right)^a$mathjax$

.

Prenons maintenant le cas où b est pair, et peut donc s'écrire

$mathjax$2\times c$mathjax$

avec c entier naturel. Cela revient donc à faire

$mathjax$\left((-1)^\left(\frac{1}{2\times c}\right)\right)^a$mathjax$

.

Ce que l'on peut réécrire en utilisant entre autres les propriétés de puissances de Quatrième

$mathjax$\left((-1)^\left(\frac{1}{2}\times\frac{1}{c}\right)\right)^a$mathjax$

et

$mathjax$\left(\left((-1)^\left(\frac{1}{2}\right)\right)^\left(\frac{1}{c}\right)\right)^a$mathjax$

.

Une autre écriture de cette forme est justement

$mathjax$\left(\sqrt{-1}^\left(\frac{1}{c}\right)\right)^a$mathjax$

, d'où l'erreur donnée par la calculatrice dans ce cas.

→ **MyCalcs** profile · de **Ragnarok1er** » 20 Déc 2017, 23:16

Pardon mais cela ne répond pas vraiment à ma question.

Je ne cherche pas la raison des erreurs, qui semblent tout à fait légitimes, mais des valeurs données.

Pourquoi (-1)^1.04 vaut 1 et (-1)^1.08 vaut -1, par exemple.

→ **MyCalcs** profile · de **critor** » 20 Déc 2017, 23:23

Ah désolé, ambiguïté sur l'objet de ta question.

Mais bref, c'est la même méthode : passe par l'écriture fractionnaire.
1,04=26/25
Alors que 1,08=27/25
D'où la différence de signe.

→ **MyCalcs** profile · de **Wistaro** » 20 Déc 2017, 23:25

Ragnarok1er a écrit:Pardon mais cela ne répond pas vraiment à ma question.

Je ne cherche pas la raison des erreurs, qui semblent tout à fait légitimes, mais des valeurs données.

Pourquoi (-1)^1.04 vaut 1 et (-1)^1.08 vaut -1, par exemple.

(-1)^1.04 = exp(1.04*ln(-1))

Ça n'a donc pas de sens..
Je sais pas comment la calculatrice arrive à trouver un truc d'ailleurs.

→ **MyCalcs** profile · de **Ragnarok1er** » 20 Déc 2017, 23:37

Merci, j'ai compris.

Wistaro, j'édite ce message avec l'explication.

Edit :

Donc pour (-1)^1.04 par exemple.

Or 1.04 = 104/100 = 26/25

Donc (-1)^1.04 = (-1)^(1/25) , le tout à la puissance 26.

Or on peut voir (-1)^(1/25) comme étant la racine 25-ème de -1, c'est à dire un nombre qui mis à la puissance 25, donnera -1. Dans les complexes il y a 25 solutions, mais parmi les réels il n'y en a qu'une, et c'est -1, car (-1)^25 = -1.

Donc (-1)^1.04 = (-1)^26 = 1.

===

De même (-1)^1.08 = (-1)^(1/25) , le tout à la puissance 27 (car 1.08 = 27/25).

Donc (-1)^1.08 = (-1)^27 = -1

===

Et par contre cette méthode ne fonctionne pas si le dénominateur est pair (c'est ce qu'expliquait critor).

Si on prend par exemple (-1)^1.5, on a (-1)^(3/2) = (-1)^(1/2), le tout au cube.

Or (-1)^1/2 doit être un nombre qui, mis au carré, vaut -1. Parmi les réels, de tels nombres n'existent pas (chez les complexes, on aurait i et -i). D'où l'erreur.

→ **MyCalcs** profile · de **Bisam** » 28 Déc 2017, 10:26

À vrai dire, c'est un "bug" volontairement laissé sur la plupart des calculettes qui font du calcul exact.
En effet, logiquement, on ne devrait pas pouvoir calculer une puissance fractionnaire d'un nombre négatif.

La raison en est toute simple : la règle qui dit

$mathjax${a^b}^c=a^{bc}$mathjax$

ne serait plus respectée si on pouvait les définir.

Plus précisément

$mathjax$-1=(-1)^3=(-1)^{6/2}\neq\left((-1)^6\right)^{1/2}=\sqrt{1}=1$mathjax$

.

Mais il est pénible de rajouter cette condition à la calculette pur lui faire répondre que le calcul n'est pas possible dans ce cas. En gros, on imagine que l'utilisateur est suffisamment malin pour ne pas lui demander de faire ce calcul.

→ **MyCalcs** profile · de **Wistaro** » 28 Déc 2017, 10:48

Ragnarok1er a écrit:Merci, j'ai compris.

Wistaro, j'édite ce message avec l'explication.

Edit :

Donc pour (-1)^1.04 par exemple.

Or 1.04 = 104/100 = 26/25

Donc (-1)^1.04 = (-1)^(1/25) , le tout à la puissance 26.

Or on peut voir (-1)^(1/25) comme étant la racine 25-ème de -1, c'est à dire un nombre qui mis à la puissance 25, donnera -1. Dans les complexes il y a 25 solutions, mais parmi les réels il n'y en a qu'une, et c'est -1, car (-1)^25 = -1.

Donc (-1)^1.04 = (-1)^26 = 1.

===

De même (-1)^1.08 = (-1)^(1/25) , le tout à la puissance 27 (car 1.08 = 27/25).

Donc (-1)^1.08 = (-1)^27 = -1

===

Et par contre cette méthode ne fonctionne pas si le dénominateur est pair (c'est ce qu'expliquait critor).

Si on prend par exemple (-1)^1.5, on a (-1)^(3/2) = (-1)^(1/2), le tout au cube.

Or (-1)^1/2 doit être un nombre qui, mis au carré, vaut -1. Parmi les réels, de tels nombres n'existent pas (chez les complexes, on aurait i et -i). D'où l'erreur.

D'accord, je vois. Merci pour les explications

→ **MyCalcs** profile · de **ismael587** » 29 Déc 2017, 09:41

Bonjour
En fait, il est possible de définir le logarithme complexe comme suit
ln(z) = ln[|z|exp(i arg(z))] = ln(|z|) + i arg(z) avec z dans C tel que arg(z) dans l'intervalle [-pi;pi]

donc (-1)^1.08 =exp(1.08 * ln(-1)) = exp(1.08 * i * pi) = -0,96858 - 0.24868*i

En fait la puissance décimale d'un nombre négatif est un nombre complexe, d'où la difficulté rencontrée par les calculatrices si elles n'ont pas la définition du logarithme complexe ou bien si tu travailles en mode réel et non complexe.