Aide suite

[marwen mb]

Bonjour je voudrais savoir comment je dois faire pour résoudre l'exo 1.
J'ai essayé la récurrence ça ne marche pas.

[edgar13]

D'ou vient cet exercice? Par contre je ne sais pas comment faire.

[critor]

Dans le contexte des suites numériques, un réflexe à avoir lorsqu'une question fournit un résultat à démontrer, c'est le raisonnement par récurrence (Terminale S). Comme d'ailleurs indiqué juste avant ton exercice.

En plus c'est une récurrence sur une égalité, ce sont les plus simples car nécessitant le moins d'initiatives, quasiment mécaniques.

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n,

$mathjax$u_n=0,5(-0,6)^n+0,5$mathjax$

.



Initialisation :

On prend la plus petite valeur n autorisée par l'énoncé, ici 0 puisque c'est pour tout entier naturel.

Pour

$mathjax$n=0$mathjax$

, on a :

$mathjax$u_n=u_0\\
\phantom{u_n}=1$mathjax$

$mathjax$0,5(-0,6)^n+0,5=0,5(-0,6)^0+0,5\\
\phantom{0,5(-0,6)^n+0,5}=0,5\times 1+0,5\\
\phantom{0,5(-0,6)^n+0,5}=0,5+0,5\\
\phantom{0,5(-0,6)^n+0,5}=1$mathjax$

Donc la propriété est vraie au rang 0 :

$mathjax$u_0=0,5(-0,6)^0+0,5$mathjax$

Hérédité :
Supposons que la propriété est vraie à un certain rang n :

$mathjax$u_n=0,5(-0,6)^n+0,5$mathjax$

On va maintenant énoncer le but à démontrer dans cette partie. Pour cela c'est très simple : remplace dans la propriété tous les n par des n+1.

Démontrons alors qu'elle est vraie au rang n+1 :

$mathjax$u_{n+1}=0,5(-0,6)^{n+1}+0,5$mathjax$

Tu pars alors d'un côté de l'égalité à démontrer, et tu dois arriver à l'autre côté en utilisant 2 éléments :

• l'égalité supposée pour la récurrence
• une autre égalité fournie dans l'énoncé

$mathjax$u_{n+1}=-0,6 u_n+0,8\text{ d'après l'énoncé}\\
\phantom{u_{n+1}}=-0,6\left(0,5(-0,6)^n+0,5\right)+0,8\text{ d'après l'hypothèse de récurrence}\\
\phantom{u_{n+1}}=-0,6\times 0,5(-0,6)^n-0,6\times 0,5+0,8\\
\phantom{u_{n+1}}=0,5(-0,6)^{n+1}-0,3+0,8\\
\phantom{u_{n+1}}=0,5(-0,6)^{n+1}-0,5\text{ cqfd}$mathjax$

Donc la propriété est vraie au rang n+1 :

$mathjax$u_{n+1}=0,5(-0,6)^{n+1}+0,5$mathjax$

Conclusion : Donc pour tout entier naturel n,

$mathjax$u_n=0,5(-0,6)^n+0,5$mathjax$

.

[Bisam]

Une autre méthode serait de démontrer que si l'on pose

$mathjax$v_n=u_n-0,5$mathjax$

pour tout

$mathjax$n\in\mathbb{N}$mathjax$

alors la suite

$mathjax$(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$mathjax$

est une suite géométrique de raison

$mathjax$-0,6$mathjax$

.

PS : Je sais que j'arrive plusieurs mois trop tard... mais bon.

[parisse]

Pour les suites arithmetico-geometriques de raison differente de 1, on cherche le point fixe l de la recurrence, la suite de depart-l est alors geometrique. Je ne comprends pas pourquoi ce n'est pas donne systematiquement comme un theoreme, plutot que de faire de longs raisonnements toujours sur le meme modele.
Meme resultat pour des suites couplees si 1 n'est pas valeur propre de la matrice raison.