Il y a ici une petite originalité, car en plus de l'algorithme il y a également une conjecture à réaliser sur calculatrice.
Question 1)a)
Nous devons donc exprimer l'aire du trapèze AECD.
La formule de l'aire du trapèze donne ici (AE+CD)*AD/2.
Mais en cas de trou de mémoire, on peut toujours répondre à la question en additionnant les aires des rectangle ABCD et triangle rectangle BCE.
CD=AB=2
AE=AB+BE=4+x
AD=BC=√(CE²-BE²)=√(1-x²)
Nous obtenons donc f(x)=(x+4)√(1-x²)/2.
Question 1)b)
On nous demande maintenant de conjecturer la valeur du maximum de f à l'aide de la calculatrice.
Prenons donc notre calculatrice TI-82 à TI-84, et ouvrons l'éditeur pour y saisir notre fonction:
Nous pouvons alors demander sa courbe:
Notre calculatrice dispose d'un outil pour rechercher de façon précise le maximum - il nous suffit pour cela d'aller dans les outils d'analyse de courbe:
Nous spécifions alors graphiquement sur quel intervalle rechercher le maximum:
Et le voici enfin, maximum d'environ 2,1 pour x≈0,2:
Si vous disposez d'une Casio Graph ou Casio Prizm, on procède selon les mêmes étapes.
On saisit l'expression en accédant à l'éditeur de fonctions depuis le menu principal:
Avec [DRAW], on en demande la courbe:
En appuyant sur [SHIFT], nous obtenons alors un menu spécifique aux graphiques:
Nous y choisissons [G-SOLVE] (pour résolution graphique) et ensuite [MAX]:
Et voilà, même résultat - il n'y a pas d'intervalle à spécifier ici:
Sur TI-Nspire, nous saisirons l'expression dans l'application graphique:
Nous choisissons ensuite l'outil d'analyse de courbe approprié:
Après spécification graphique de l'intervalle de recherche, voici enfin à nouveau le même résultat:
Question 2)a)
On nous donne donc un algorithme qui travaille sur l'expression 0,5√((1-x²)(x+4)²).
Mais remarquons que 0,5√((1-x²)(x+4)²)=0,5√((x+4)²)√(1-x²)=0,5(x+4)√(1-x²) car x+4≥ puisque x≥0 (x étant la longueur BE).
Cette expression revient dont finalement à f(x) et représente l'aire du trapèze.
Que fait donc l'algorithme là-dessus?
Il balaye les valeurs en partant de 0 par pas de 0,01 et continue tant que l'image est supérieure ou égale à la précédente.
En gros il recherche la plus grande image, soit le maximum.
De façon plus précise, comme on utilise un pas de 0,01 on peut dire que l'algorithme recherche l'abscisse du maximum à 10-2 près.
Mais en fait, l'algorithme s'arrêtera uniquement lorsque l'on aura dépassé ce maximum en abscisse.
Contrairement à la question précédente, on pourrait donc dire que l'algorithme recherche ici à 10-2 près par excès, la valeur de x correspondant au maximum.
Le maximum existant ici, la recherche se termine.
Question 2)b)
On nous demande enfin ce qu'affiche l'algorithme.
Il suffit pour cela de le programmer sur notre TI-82 à TI-84:
On obtient donc dans l'ordre 0,23, 2,058300473 et 23.
On peut également effectuer la programmation sur Casio Graph et Casio Prizm pour les mêmes résultats:
Ou encore sur TI-Nspire:
Lien:
Olympiades Académiques 2013 Premières S (Montpellier)
