Correction algorithme BAC ES/L 2014 (Liban - mai 2014)

[critor]

Etudions aujourd'hui ensemble l'algorithme tombé au BAC ES/L 2014 au Liban.
Il s'agit de l'exercice 3:


Question 1-a :

$mathjax$a_1=0,8\times a_0+400=0,8\times 2500+400=2000+400=2400$mathjax$

$mathjax$a_2=0,8\times a_1+400=0,8\times 2400+400=1920+400=2320$mathjax$

Question 1-b :
L'année 2013+n il y a a_n adhérents.
L'année 2013+n+1 suivante, il y aura:

• 80% des inscrits qui renouvellent leur inscription soit
  $mathjax$\frac {80}{100}a_n=0,8a_n$mathjax$
• 400 nouveaux adhérents

Donc pour tout entier naturel n,

$mathjax$a_{n+1}=0,8a_n+400$mathjax$

Question 2-a :

$mathjax$v_0=a_0-2000=2500-2000=500$mathjax$

Pour tout entier naturel n,

$mathjax$\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{a_{n+1}-2000}{a_n-2000}=\frac{0,8a_n+400-2000}{a_n-2000}=\frac{0,8a_n-1600}{a_n-2000}=\frac{0,8\left(a_n-2000\right)}{a_n-2000}=0,8$mathjax$

Donc (u_n) est une suite géométrique de premier terme v₀=500 et de raison 0,8.


Question 2-b :
Donc pour tout entier naturel n,

$mathjax$v_n=v_0\times 0,8^n=500\times 0,8^n$mathjax$

Donc

$mathjax$v_n=a_n-2000\Leftrightarrow v_n+2000=a_n\Leftrightarrow a_n=500\times 0,8^n+2000$mathjax$

Question 2-c :

$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}0,8^n=0$mathjax$

car -1<0,8<1.
Donc

$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}500\times 0,8^n=0$mathjax$

et

$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}a_n=2000$mathjax$

Question 2-d :
On en déduit donc qu'au bout d'un grand nombre d'années le nombre d'adhérents tendra vers 2000.


Question 3-a :
L'algorithme donné s'articule autour d'une boucle 'tant que' de condition de poursuite A-2000>50, et s'achève donc sur la réalisation de la condition contraire A-2000≤50.
De plus l'algorithme renvoie alors la valeur de N.
L'algorithme recherche donc la valeur N telle que A-2000≤50.

Reste à comprendre ce que représentent ces variables:

• La variable A est initialisée à 0 et affectée par réccurrence dans la boucle avec 0,8A+400, ce qui correspond à la définition par récurrence de la suite (a_n). La variable A prend donc les valeurs des termes de la suite (a_n).
• La variable N initialisée à 0 et incrémentée de 1 dans la boucle est alors l'indice associé à la valeur A.

Donc l'algorithme recherche l'indice n du premier terme a_n vérifiant a_n-2000≤50, soit encore a_n≤2050.


Question 3-b :
Pour savoir ce que répond l'algorithme programmons-le sur notre calculatrice graphique.

Voici des traductions de l'algorithme pour TI-76/82/83/84, TI-Nspire, HP-39gII/Prime, Casio Prizm/fx-CG et Casio Classpad/fx-CP:


Toutes les calculatrices répondent donc à l'unisson.
Réponse: 11
C'est donc en 2013+11=2024 qu'il y aura moins de 2050 adhérents.


Téléchargement :

• BAC ES 2014 - Annales des sujets inédits 2013-2014
• BAC L 2014 - Annales des sujets inédits 2013-2014

[Bisam]

À la question 2.d), on peut aussi préciser que le nombre d'adhérents va être strictement décroissant.

Mais une question me taraude tout de même... comment gère-t-on les morceaux d'adhérents dans cette bibliothèque ? En effet, à partir de 2017 (soit à partir de N=4), la suite (an) n'est plus composée de nombres entiers (par exemple, en 2017, il est censé y avoir 2204,8 adhérents puis 2163,84 en 2018, etc...) !
Les concepteurs de sujets pourraient au moins faire un petit effort et vérifier la cohérence de leurs "modélisations de la vie réelle"...

[critor]

Oui j'ai pensé à la décroissance aussi, mais je me disais que ça relevait de la conjecture non explicitement autorisée par la question et que c'était donc à démontrer, contrairement à la limite qui est une interprétation directe de la question précédente.

Mais après, tout est une question d'interprétation de l'énoncé dont chacun est libre.


En effet si il y avait une question nous amenant à trouver des morceaux humains, on arrondirait pour répondre dans le contexte de l'énoncé.
Le problème serait alors si on avait besoin du terme suivant: appliquerait-on la récurrence sur valeur exacte ou sur la valeur arrondie?...
J'avoue franchement que je l'ignore et que j'hésite.

Heureusement, le problème n'apparaît pas ici.