Il s'agissait de l'exercice 4 pour non spécialistes, comptant pour 5 points et donc à traiter sur une durée indicative d'1 heure.
Question 1 :
$mathjax$a_n+b_n=a_0+b_0 \Leftrightarrow a_n+b_n=800+1400 \Leftrightarrow a_n+b_n=2200$mathjax$
Question 2 :
Pour tout entier naturel n,
$mathjax$a_{n+1}=a_n-\frac {10}{100}a_n+\frac {15}{100}b_n=\frac {10}{10}a_n-\frac {1}{10}a_n+\frac {3}{20}b_n=\frac {9}{10}a_n+\frac {3}{20}b_n$mathjax$
Or, d'après la question 1
$mathjax$a_n+b_n=2200$mathjax$
et donc $mathjax$b_n=2200-a_n$mathjax$
Donc
$mathjax$a_{n+1}=\frac {9}{10}a_n+\frac {3}{20} \left(2200-a_n\right)=\frac {18}{20}a_n+\frac {3}{20} \times 2200-\frac {3}{20}a_n=\frac {15}{20}a_n+330=\frac {3}{4}a_n+330$mathjax$
Question 3 :
L'algorithme s'articule autour d'une boucle 'tant que' de condition de poursuite a<1100 et se termine donc sur la réalisation de la condition contraire a≥1100.
Cela veut dire que la variable a initialisée à a0=800 prend donc les valeurs des termes de la suite (an), et que la deuxième variable n initialisée à 0 est donc le rang associé.
Il y a donc deux affectations à faire dans le corps de la boucle:
- l'incrémentation du rang:
Affecter à n la valeur n+1 - l'affectation récurrente du terme traduisant la relation de la question 2:
Affecter à a la valeur 3/4×a+330
En ce sens l'algorithme répond à la question et il n'y a rien de plus à faire après la boucle.
L'affectation de n faisant suite à la boucle et que l'on nous demande de compléter est donc une erreur.
Probablement que cette ligne devait en fait remplacer celle déjà complétée dans la boucle et qu'il y a eu une erreur de copier/coller.
Ou alors on complète cette ligne en une instruction inutile: Affecter à n la valeur n.
- Code: Tout sélectionner
Variables :
n est un entier naturel
a est un réel
Initialisation :
Affecter à n la valeur 0
Affecter à a la valeur 800
Traitement :
Tant que a<1100, faire :
Affecter à a la valeur 3/4×a+330
Affecter à n la valeur n+1
Fin Tant que
Sortie :
Afficher n
En situation d'examen, la programmation sur calculatrice graphique et la confrontation avec un tableau de valeurs fourni par l'application suites permet de vérifier la justesse de notre algorithme.
Question 4-a :
Pour tout entier naturel n,
$mathjax$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{a_{n+1}-1320}{a_n-1320}=\frac{\frac {3}{4}a_n+330-1320}{a_n-1320}=\frac{\frac {3}{4}a_n-990}{a_n-1320}=\frac{\frac {3}{4}\left(a_n-1320\right)}{a_n-1320}=\frac {3}{4}$mathjax$
Donc (un) est une suite géométrique de raison
$mathjax$q=\frac{3}{4}$mathjax$
et de premier terme $mathjax$u_0=a_0-1320=800-1320=-520$mathjax$
.Question 4-b :
Donc pour tout entier naturel n,
$mathjax$u_n=u_0 q^n=-520 \left(\frac{3}{4}\right)^n$mathjax$
Or
$mathjax$u_n=a_n-1320$mathjax$
donc $mathjax$a_n=1320+u_n=1320-520 \left(\frac{3}{4}\right)^n$mathjax$
Question 5 :
D'après la question 2,
$mathjax$a_n=b_n\Leftrightarrow a_n=2200-a_n\Leftrightarrow 2a_n=2200\Leftrightarrow a_n=1100$mathjax$
D'après la question 4_b,
$mathjax$a_n=1100\Leftrightarrow 1320-520 \left(\frac{3}{4}\right)^n=1100\Leftrightarrow 1320-1100=520 \left(\frac{3}{4}\right)^n\Leftrightarrow 520 \left(\frac{3}{4}\right)^n=220\\
\phantom{a_n=1100}\Leftrightarrow\left(\frac{3}{4}\right)^n=\frac{220}{520}\Leftrightarrow\left(\frac{3}{4}\right)^n=\frac{11}{26}\\
\phantom{a_n=1100}\Leftrightarrow \ln\left(\left(\frac{3}{4}\right)^n\right)=\ln\left(\frac{11}{26}\right)\Leftrightarrow n\times \ln\left(\frac{3}{4}\right)=\ln\left(\frac{11}{26}\right)\Leftrightarrow n=\frac{\ln\left(\frac{11}{26}\right)}{\ln\left(\frac{3}{4}\right)}\approx 2,99$mathjax$
\phantom{a_n=1100}\Leftrightarrow\left(\frac{3}{4}\right)^n=\frac{220}{520}\Leftrightarrow\left(\frac{3}{4}\right)^n=\frac{11}{26}\\
\phantom{a_n=1100}\Leftrightarrow \ln\left(\left(\frac{3}{4}\right)^n\right)=\ln\left(\frac{11}{26}\right)\Leftrightarrow n\times \ln\left(\frac{3}{4}\right)=\ln\left(\frac{11}{26}\right)\Leftrightarrow n=\frac{\ln\left(\frac{11}{26}\right)}{\ln\left(\frac{3}{4}\right)}\approx 2,99$mathjax$
La solution trouvée n'étant pas entière, il est donc impossible que les deux bassins aient exactement le même volume en fin de journée après les transferts.
Toutefois, intéressons-nous à ce qui se passe lorsque n=3.
D'après la calculatrice
$mathjax$a_3=1100,625\approx 1101$mathjax$
et $mathjax$b_3=2200-a_3=2200-1100,625=1099,375\approx 1099$mathjax$
.À la fin du 3ème jour, les deux bassins auront donc au mètre cube près le même volume.
Au final un exercice bien sympathique qui pouvait être traité facilement en moins d'une heure, ce qui permettait de gagner du temps pour les autres.
Téléchargement : BAC S 2014 - Annales des sujets inédits 2013-2014
