Question 1)
2013 n'est pas une année bissextile car non multiple de 4, et a donc 365 jours.
$mathjax$\frac{1,55\times 10^6\times 1000}{365\times 24\times 3600}=\frac{1,55\times 10^9}{3,1536\times 10^7}\\
\phantom{\frac{1,55\times 10^6\times 1000}{365\times 24\times 3600}}=\frac{1,55\times 10^2}{3,1536}\\
\phantom{\frac{1,55\times 10^6\times 1000}{365\times 24\times 3600}}=\frac{155}{3,1536}\\
\phantom{\frac{1,55\times 10^6\times 1000}{365\times 24\times 3600}}\approx 49,2$mathjax$
\phantom{\frac{1,55\times 10^6\times 1000}{365\times 24\times 3600}}=\frac{1,55\times 10^2}{3,1536}\\
\phantom{\frac{1,55\times 10^6\times 1000}{365\times 24\times 3600}}=\frac{155}{3,1536}\\
\phantom{\frac{1,55\times 10^6\times 1000}{365\times 24\times 3600}}\approx 49,2$mathjax$
Donc la production par seconde est bien de 49 kg à l'unité près.
Question 2)a)
La raison de la suite géométrique
$mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$
est :$mathjax$\left(1+\frac{3}{100}\right)=1+0,03\\
\phantom{\left(1+\frac{3}{100}\right)}=1,03$mathjax$
\phantom{\left(1+\frac{3}{100}\right)}=1,03$mathjax$
Comme il s'agit de la production en millions de tonnes à compter de 2013, son premier terme est donc
$mathjax$u_0=1,55$mathjax$
.Question 2)b)
Donc pour tout entier naturel n,
$mathjax$u_n=u_0\times 1,03^n\\
\phantom{u_n}=1,55\times 1,03^n$mathjax$
\phantom{u_n}=1,55\times 1,03^n$mathjax$
Question 3)
$mathjax$2020=2013+7$mathjax$
$mathjax$u_7=1,55\times 1,03^7\\
\phantom{u_7}\approx 1,91$mathjax$
\phantom{u_7}\approx 1,91$mathjax$
La production de déchets en 2020 est donc d'environ 1,91 millions de tonnes.
Question 4)
$mathjax$u_n\geq 2\Leftrightarrow 1,55\times 1,03^n\geq 2\\
\phantom{u_n\geq 2}\Leftrightarrow 1,03^n\geq\frac{2}{1,55}\\
\phantom{u_n\geq 2}\Leftrightarrow ln\left(1,03^n\right)\geq ln\left(\frac{2}{1,55}\right)\\
\phantom{u_n\geq 2}\Leftrightarrow n\times ln(1,03)\geq ln(2)-ln(1,55)\\
\phantom{u_n\geq 2}\Leftrightarrow n\geq\frac{ln(2)-ln(1,55)}{ln(1,03)}$mathjax$
\phantom{u_n\geq 2}\Leftrightarrow 1,03^n\geq\frac{2}{1,55}\\
\phantom{u_n\geq 2}\Leftrightarrow ln\left(1,03^n\right)\geq ln\left(\frac{2}{1,55}\right)\\
\phantom{u_n\geq 2}\Leftrightarrow n\times ln(1,03)\geq ln(2)-ln(1,55)\\
\phantom{u_n\geq 2}\Leftrightarrow n\geq\frac{ln(2)-ln(1,55)}{ln(1,03)}$mathjax$
(car ln est une fonction croissante et
$mathjax$ln(1,03)>0$mathjax$
Or,
$mathjax$\frac{ln(2)-ln(1,55)}{ln(1,03)}\approx 8,6$mathjax$
Donc
$mathjax$n\geq 9$mathjax$
.C'est à compter de
$mathjax$2013+9=2022$mathjax$
que la production dépassera 2 millions de tonnes.Question 5)a)
Pour compléter le tableau, on peut rajouter une instruction d'affichage des variables en fin de boucle et programmer l'algorithme sur calculatrice :
Algorithme | Programme | ||||||||||||
|
|
D'où le tableau complété :
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| u | 1,55 | 1,597 | 1,644 | 1,694 | 1,745 | 1,797 |
| S | 1,55 | 3,147 | 4,791 | 6,485 | 8,229 | 10,026 |
Question 5)b)
L'algorithme s'articule autour d'une boucle Pour, de compteur allant de 1 à 5.
Cette boucle est donc itérée 5 fois.
La variable u initialisée à
$mathjax$u_0=1,55$mathjax$
et modifiée selon la relation de récurrence de la suite $mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$
dans la boucle, y prend donc successivement les valeurs $mathjax$u_1$mathjax$
, $mathjax$u_2$mathjax$
, $mathjax$u_3$mathjax$
, $mathjax$u_4$mathjax$
et $mathjax$u_5$mathjax$
.La variable S est initialisée à
$mathjax$u_0=1,55$mathjax$
et se voit rajouter la nouvelle valeur de u à chaque itération de la boucle.En sortie d'algorithme, cette variable affichée vaudra donc la somme
$mathjax$u_0+u_1+u_2+u_3+u_4+u_5=\sum\limits_{k=0}^{5}u_k$mathjax$
.Dans le contexte de l'exercice, l'algorithme donne donc la production totale de déchets en millions de tonnées pour les 6 années de 2013 à 2018.
