Question 1)a)
$mathjax$d_1=\left(1+\frac{6}{100}\right)d_0\\
\phantom{d_1}=(1+0,06)10\\
\phantom{d_1}=1,06\times 10\\
\phantom{d_1}=10,6$mathjax$
\phantom{d_1}=(1+0,06)10\\
\phantom{d_1}=1,06\times 10\\
\phantom{d_1}=10,6$mathjax$
Question 1)b)
Pour tout entier naturel n, on a de même :
$mathjax$d_{n+1}=\left(1+\frac{6}{100}\right)d_n\\
\phantom{d_{n+1}}=(1+0,06)d_n\\
\phantom{d_{n+1}}=1,06 d_n$mathjax$
\phantom{d_{n+1}}=(1+0,06)d_n\\
\phantom{d_{n+1}}=1,06 d_n$mathjax$
La suite
$mathjax$\left(d_n\right)$mathjax$
est donc une suite géométrique de raison 1,06.Donc pour tout entier naturel n,
$mathjax$d_n=d_0\times 1,06^n\\
\phantom{d_n}=10\times 1,06^n$mathjax$
\phantom{d_n}=10\times 1,06^n$mathjax$
Question 1)c)
En partant de janvier 2014, septembre 2014 est donc le mois de rang 8.
$mathjax$u_8=10\times 1,06^8\\
\phantom{u_8}\approx 15,9$mathjax$
\phantom{u_8}\approx 15,9$mathjax$
En septembre 2014, Alice pourra courrir environ 15,9 km.
Question 1)d)
$mathjax$u_n\geq 25\Leftrightarrow 10\times 1,06^n\geq 25\\
\phantom{u_n\geq 25}\Leftrightarrow 1,06^n\geq\frac{25}{10}\\
\phantom{u_n\geq 25}\Leftrightarrow 1,06^n\geq 2,5\\
\phantom{u_n\geq 25}\Leftrightarrow ln\left(1,06^n\right)\geq ln(2,5)\\
\phantom{u_n\geq 25}\Leftrightarrow n\times ln(1,06)\geq ln(2,5)\\
\phantom{u_n\geq 25}\Leftrightarrow n\geq\frac{ln(2,5)}{ln(1,06)}$mathjax$
\phantom{u_n\geq 25}\Leftrightarrow 1,06^n\geq\frac{25}{10}\\
\phantom{u_n\geq 25}\Leftrightarrow 1,06^n\geq 2,5\\
\phantom{u_n\geq 25}\Leftrightarrow ln\left(1,06^n\right)\geq ln(2,5)\\
\phantom{u_n\geq 25}\Leftrightarrow n\times ln(1,06)\geq ln(2,5)\\
\phantom{u_n\geq 25}\Leftrightarrow n\geq\frac{ln(2,5)}{ln(1,06)}$mathjax$
(car la fonction ln est croissante et
$mathjax$ln(1,06)>0$mathjax$
)Or,
$mathjax$\frac{ln(2,5)}{ln(1,06)}\approx 15,7$mathjax$
Donc
$mathjax$n\geq 16$mathjax$
.C'est au bout de 16 mois qu'Alice pourra courrir 25 km.
Question 2)a)
L'algorithme s'articule autour d'une boucle Tant que, de condition de poursuite t>50.
Il se termine donc sur la réalisation de la condition contraire : t≤50.
La variable t initialisée à 60 et diminuée de 2% dans la boucle est donc le temps mis par Alice pour courir les 10 premiers kilomètres.
La variable N initialisée à 0 et incrémentée de 1 dans la boucle est donc le rang du mois à compter de septembre 2015.
L'algorithme affiche donc en sortie :
- le nombre de mois à partir de septembre 2015 au bout duquel Alice mettra moins de 50 minutes à courir les 10 premiers kilomètres
- le temps qui sera alors mis pour courir les 10 premiers kilomètres
Question 2)b)
Pour avoir le détail pas à pas de l'exécution de l'algorithme, rajoutons une instruction d'affichage en fin de boucle et programmons-le sur notre calculatrice :
Algorithme | Programme | ||||||||||||
|
|
D'où le tableau ainsi complété :
| Valeur de N | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Valeur de t (arrondie à 10-2) | 60 | 58,80 | 57,62 | 56,47 | 55,34 | 54,24 | 53,15 | 52,09 | 51,05 | 50,02 | 49,02 |
Question 2)c)
Les valeurs affichées en sortie sont donc 10 et 49,02.
Alice peut donc en déduire que c'est au bout de 10 mois à compter de septembre 2015 qu'elle sera capable de courir les 10 premiers kilomètres en moins de 50 minutes, plus préciément en 49,02 minutes.
Question 2)d)
Par rapport à septembre 2015, le mois de novembre 2016 a pour rang 14.
$mathjax$60\times 0,98^14\approx 45,2$mathjax$
En novembre 2016, Alice sera capable de courir les 10 premiers kilomètres en environ 45,2 minutes.
A 82% de cette vitesse, elle mettre environ
$mathjax$\frac{45,2}{0,82}\approx 55,1$mathjax$
minutes.Pour 21km au lieu de 10km, cela donne donc environ
$mathjax$\frac{55,1\times 21}{10}\approx 115,8$mathjax$
.Alice peut donc bien espérer courir le semi-marathon en moins de 120 minutes c'est-à-dire 2 heures, et donc sa qualifier.
