Question 1) :
Programmons la relation de récurrence
$mathjax$u_{n+1}=2 u_n+2 n^2-n$mathjax$
dans la cellule B3 :=2*B2+2*A2^2-A2Programmons ensuite la relation
$mathjax$v_n=u_n+2 n^2+3 n+5$mathjax$
dans la cellule C2 :=B2+2*A2^2+3*A2+5L'usage de l'application feuille de calculs de la calculatrice graphique permet de confirmer en situation d'examen que la recopie vers le bas de ces formules donne bien les mêmes valeurs que sur le document fourni dans l'énoncé :
Question 2) :
On conjecture à partir de la feuille de calculs, que
$mathjax$\left(v_n\right)$mathjax$
est une suite géométrique de raison 2.Démontrons-le.
Pour tout entier naturel n :
$mathjax$v_{n+1}=u_{n+1}+2(n+1)^2+3(n+1)+5\\
\phantom{v_{n+1}}=\left(2 u_n+2 n^2-n\right)+2\left(n^2+2 n+1\right)+3 n+3+5\\
\phantom{v_{n+1}}=2 u_n+2 n^2-n+2 n^2+4 n+2+3 n +8\\
\phantom{v_{n+1}}=2 u_n+4 n^2+6 n+10\\
\phantom{v_{n+1}}=2\left(u_n+2 n^2+3 n+5\right)\\
\phantom{v_{n+1}}=2 v_n$mathjax$
\phantom{v_{n+1}}=\left(2 u_n+2 n^2-n\right)+2\left(n^2+2 n+1\right)+3 n+3+5\\
\phantom{v_{n+1}}=2 u_n+2 n^2-n+2 n^2+4 n+2+3 n +8\\
\phantom{v_{n+1}}=2 u_n+4 n^2+6 n+10\\
\phantom{v_{n+1}}=2\left(u_n+2 n^2+3 n+5\right)\\
\phantom{v_{n+1}}=2 v_n$mathjax$
Donc
$mathjax$\left(v_n\right)$mathjax$
est une suite géométrique de raison 2.Son premier terme est
$mathjax$v_0=u_0+2\times 0^2+3\times 0+5\\
\phantom{v_0}=2+0+0+5\\
\phantom{v_0}=7\\$mathjax$
\phantom{v_0}=2+0+0+5\\
\phantom{v_0}=7\\$mathjax$
Donc pour tout entier naturel n :
$mathjax$v_n=v_0\times 2^n\\
\phantom{v_n}=7\times 2^n$mathjax$
\phantom{v_n}=7\times 2^n$mathjax$
Or pour tout entier naturel n,
$mathjax$v_n=u_n+2 n^2+3 n+5\Leftrightarrow u_n=v_n-2 n^2-3 n-5$mathjax$
.Donc pour tout entier naturel n,
$mathjax$u_n=7\times 2^n-2 n^2-3 n-5$mathjax$
