Question A)1) :
$mathjax$\forall n \in \mathbb{N} , u_n+v_n=u_0+v_0 \\
\phantom{\forall n \in \mathbb{N} , u_n+v_n}=90+30 \\
\phantom{\forall n \in \mathbb{N} , u_n+v_n}=120$mathjax$
\phantom{\forall n \in \mathbb{N} , u_n+v_n}=90+30 \\
\phantom{\forall n \in \mathbb{N} , u_n+v_n}=120$mathjax$
Question A)2) :
D'une année à l'autre :
- la population en ville gagne 10% des ruraux et perd 5%
- la population rurale perd donc 10% et gagne 5% des citadins
- B3=B2-0.10×B2+0.05×C2
- C3=C2+0.10×B2-0.05×C2
Calculatrices avec application tableur intégrée :
- TI-82 Advanced, TI-Nspire
- Casio Graph 75/85/95, Casio fx-CG10/20, Casio Classpad / fx-CP400
- HP-Prime
- Casio Graph 35+ : suivre le tutoriel pour transformer la calculatrice en Graph 75
- TI-82 Plus, TI-83 Plus, TI-84 Plus, TI-84 Pocket.fr : application CellSheet à retélécharger si manquante
- TI-83 Premium CE, TI-84 Plus CE : application CellSheet 5.x à retélécharger si manquante
Question A)3) :
D'après la feuille de calcul, on peut conjecturer que :
- La population en zone rurale tend vers 40 millions d'habitants, par valeurs supérieures.
- La population en ville tend vers 80 millions d'habitants, par valeurs inférieures.
Question B)1)a) :
Démontrons par récurrence que
$mathjax$\forall n \in \mathbb{N} , u_n\geq u_{n+1}$mathjax$
.Notons
$mathjax$P_n : u_n\geq u_{n+1}$mathjax$
- Initialisation :
Pour n=0,$mathjax$u_0=30$mathjax$et$mathjax$u_{0+1}=u_1=37,5$mathjax$.
Donc$mathjax$u_0\geq u_{0+1}$mathjax$et$mathjax$P_0$mathjax$est vraie. - Hérédité :
Supposons que$mathjax$P_n$mathjax$est vraie, c'est-à-dire que$mathjax$u_n\geq u_{n+1}$mathjax$.
Montrons que$mathjax$P_{n+1}$mathjax$est vraie, c'est-à-dire que$mathjax$u_{n+1}\geq u_{n+2}$mathjax$.
On sait que$mathjax$\forall n \in \mathbb{N} , u_{n+1}=0,85u_n+6$mathjax$.$mathjax$\phantom{\Leftrightarrow }u_n\geq u_{n+1} \\
\Leftrightarrow 0,85u_n\geq 0,85u_{n+1} \\
\Leftrightarrow 0,85u_n+6\geq 0,85u_{n+1}+6 \\
\Leftrightarrow u_{n+1}\geq u_{n+2}$mathjax$
Donc$mathjax$P_{n+1}$mathjax$est vraie. - Conclusion :
Donc$mathjax$\forall n \in \mathbb{N} , u_n\geq u_{n+1}$mathjax$et la suite$mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$est décroissante.
Question B)1)b) :
$mathjax$\forall n \in \mathbb{N} , u_n\geq 0$mathjax$
.La suite
$mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$
est donc décroissante d'après la question précédente, et de plus minorée par 0.Donc la suite
$mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$
est convergente.Question B)2)a) :
$mathjax$\forall n \in \mathbb{N} , w_n=u_n-40$mathjax$
Donc
$mathjax$\forall n \in \mathbb{N} , w_{n+1}=u_{n+1}-40\\
\phantom{w_{n+1}}=0,85u_n+6-40\\
\phantom{w_{n+1}}=0,85u_n-34\\
\phantom{w_{n+1}}=0,85\left(u_n-\frac{34}{0,85}\right)\\
\phantom{w_{n+1}}=0,85\left(u_n-40\right)\\
\phantom{w_{n+1}}=0,85w_n$mathjax$
\phantom{w_{n+1}}=0,85u_n+6-40\\
\phantom{w_{n+1}}=0,85u_n-34\\
\phantom{w_{n+1}}=0,85\left(u_n-\frac{34}{0,85}\right)\\
\phantom{w_{n+1}}=0,85\left(u_n-40\right)\\
\phantom{w_{n+1}}=0,85w_n$mathjax$
La suite
$mathjax$\left(w_n\right)$mathjax$
est donc une suite géométrique de raison $mathjax$q=0,85$mathjax$
.Question B)2)b) :
$mathjax$\left(w_n\right)$mathjax$
étant une suite géométrique, $mathjax$\forall n \in \mathbb{N} , w_n=w_0 \times q^n\\
\phantom{\forall n \in \mathbb{N} , w_n}=\left(u_0-40\right)0,85^n\\
\phantom{\forall n \in \mathbb{N} , w_n}=\left(90-40\right)0,85^n\\
\phantom{\forall n \in \mathbb{N} , w_n}=50\times 0,85^n$mathjax$
\phantom{\forall n \in \mathbb{N} , w_n}=\left(u_0-40\right)0,85^n\\
\phantom{\forall n \in \mathbb{N} , w_n}=\left(90-40\right)0,85^n\\
\phantom{\forall n \in \mathbb{N} , w_n}=50\times 0,85^n$mathjax$
$mathjax$\phantom{\Leftrightarrow}w_n=u_n-40\\
\Leftrightarrow w_n+40=u_n\\
\Leftrightarrow u_n=w_n+40\\
\Leftrightarrow u_n=50\times 0,85^n+40$mathjax$
\Leftrightarrow w_n+40=u_n\\
\Leftrightarrow u_n=w_n+40\\
\Leftrightarrow u_n=50\times 0,85^n+40$mathjax$
Question B)2)c) :
D'après la question A)1),
$mathjax$\phantom{\Leftrightarrow}u_n+v_n=120\\
\Leftrightarrow v_n=120-u_n \\
\Leftrightarrow v_n=120-\left(50\times 0,85^n+40\right) \\
\Leftrightarrow v_n=120-50\times 0,85^n-40 \\
\Leftrightarrow v_n=120-40-50\times 0,85^n \\
\Leftrightarrow v_n=80-50\times 0,85^n$mathjax$
\Leftrightarrow v_n=120-u_n \\
\Leftrightarrow v_n=120-\left(50\times 0,85^n+40\right) \\
\Leftrightarrow v_n=120-50\times 0,85^n-40 \\
\Leftrightarrow v_n=120-40-50\times 0,85^n \\
\Leftrightarrow v_n=80-50\times 0,85^n$mathjax$
Question B)3) :
$mathjax$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,85^n=0^+$mathjax$
car $mathjax$-1<0,85<1$mathjax$
.Donc
$mathjax$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=40^+$mathjax$
et $mathjax$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n=80^-$mathjax$
.Les deux conjectures de la question A)3) sont validées.
Question B)4)a) :
L'algorithme s'articule autour d'une unique boucle tant que.
Au cours des itérations de cette boucle, il calcule les termes successifs de la suite
$mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$
, puisque l'on a :- le rang dans la variable n (initialisée à 0, et incrémentée de 1 à chaque itération)
- la valeur du terme $mathjax$u_n$mathjax$dans la variable u (initialisée à$mathjax$u_0=90$mathjax$et modifiée selon la relation de récurrence de la suite à chaque itération)
$mathjax$u\geq 120-u$mathjax$
.L'algorithme se termine donc sur la réalisation de la condition contraire, soit
$mathjax$u<120-u$mathjax$
.Cette condition se traduit dans le contexte du problème par
$mathjax$u_n<120-u_n$mathjax$
.Or, d'après B)2)c),
$mathjax$v_n=120-u_n$mathjax$
.Donc la condition d'arrêt peut se réécrire
$mathjax$u_n<v_n$mathjax$
.Affichant comme résultat la valeur de la variable n, l'algorithme recherche donc le plus petit rang n tel que
$mathjax$u_n<v_n$mathjax$
.Dans le contexte du problème, l'algorithme recherche donc le rang de la première année après 2010 pour laquelle la population urbaine dépassera strictement la population rurale.
Question B)4)b) :
On peut programmer l'algorithme sur notre calculatrice pour avoir la réponse et donc gagner les points de la question dans tous les cas.
Mais si on a réussi la question précédente il y a encore plus simple, puisque nous avons ici en document la feuille de calculs avec les valeurs de tous les termes des deux suites pour
Mais si on a réussi la question précédente il y a encore plus simple, puisque nous avons ici en document la feuille de calculs avec les valeurs de tous les termes des deux suites pour
$mathjax$n\leq 20$mathjax$
.Dans le document, u est en colonne B et v en colonne C.
Nous lisons jusqu'à n=5
$mathjax$u_n>v_n$mathjax$
et pour n=6 $mathjax$u_6<v_6$mathjax$
.L'algorithme répond donc 6.
C'est en 2010+6=2016 que la population urbaine dépassera strictement la population rurale.
