Correction exo 3 (recherche/initiative) BAC S 2017, Liban

[critor]

Correction de l'exo 3 (fonction + tableur) du sujet de Maths du BAC S 2017 tombé au Liban en juin 2017 : https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=2177

La fonction

$mathjax$f_k$mathjax$

définie sur

$mathjax$\mathbf{R}$mathjax$

est dérivable, en tant que composée, somme et produit de fonctions dérivables sur

$mathjax$\mathbf{R}$mathjax$

.

$mathjax$f_k^{\prime}(x)=1+k(-x)^{\prime}e^{-x}\\
\phantom{f_k^{\prime}(x)}=1+k\times -1e^{-x}\\
\phantom{f_k^{\prime}(x)}=1-ke^{-x}$mathjax$

D'après l'énoncé, la fonction

$mathjax$f_k$mathjax$

admet et atteint un minimum en l'abscisse d'un point

$mathjax$A_k$mathjax$

.

$mathjax$f_k^{\prime}(x)=0\Leftrightarrow 1-ke^{-x}=0\\
\phantom{f_k^{\prime}(x)=0}\Leftrightarrow1=ke^{-x}\\
\phantom{f_k^{\prime}(x)=0}\Leftrightarrow\frac{1}{k}=\frac{ke^{-x}}{k}\text{ car }k>0\\
\phantom{f_k^{\prime}(x)=0}\Leftrightarrow\frac{1}{k}=e^{-x}\\
\phantom{f_k^{\prime}(x)=0}\Leftrightarrow ln\left(\frac{1}{k}\right)=ln\left(e^{-x}\right)\\
\phantom{f_k^{\prime}(x)=0}\Leftrightarrow ln\left(\frac{1}{k}\right)=-x\\
\phantom{f_k^{\prime}(x)=0}\Leftrightarrow ln(1)-ln(k)=-x\\
\phantom{f_k^{\prime}(x)=0}\Leftrightarrow 0-ln(k)=-x\\
\phantom{f_k^{\prime}(x)=0}\Leftrightarrow -ln(k)=-x\\
\phantom{f_k^{\prime}(x)=0}\Leftrightarrow x=ln(k)$mathjax$

Donc

$mathjax$x_{A_k}=ln(k)$mathjax$

.

$mathjax$y_{A_k}=f_k\left(ln(k)\right)\\
\phantom{y_{A_k}}=ln(k)+ke^{-ln(k)}\\
\phantom{y_{A_k}}=ln(k)+k\frac{1}{e^{ln(k)}}\\
\phantom{y_{A_k}}=ln(k)+\frac{k}{k}
\phantom{y_{A_k}}=ln(k)+1$mathjax$

Donc

$mathjax$A_k\left(ln(k)\,,\,ln(k)+1\right)$mathjax$

.

On remarque que pour tout réel k strictement positif,

$mathjax$y_{A_k}=x_{A_k}+1$mathjax$

.
Donc les points

$mathjax$A_k$mathjax$

sont tous alignés sur une droite d'équation

$mathjax$y=x+1$mathjax$

.