Correction exo 2 non-spé (algo) BAC ES/L 2017 (Antilles-G.)

→ **MyCalcs** profile · by **critor** » 18 Jun 2017, 14:07

Correction exercice n°2 non-spé (algo) du sujet de Maths du BAC ES/L 2017 d'Antilles-Guyane :
https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=2197

Question 1) :

$mathjax$u_0=75$mathjax$

Chaque jour, 4% de la quantité d'eau s'évaporent.

$mathjax$u_0\left(1-\frac{4}{100}\right)=75(1-0,04)\\
\phantom{u_0\left(1-\frac{4}{100}\right)}=75\times 0,96\\
\phantom{u_0\left(1-\frac{4}{100}\right)}=72$mathjax$

Mais on rajoute automatiquement 2m³.
Donc

$mathjax$u_1=72+2\\
\phantom{u_1}=74$mathjax$

De même,

$mathjax$u_2=u_1\left(1-\frac{4}{100}\right)+2\\
\phantom{u_2}=74\times 0,96+2\\
\phantom{u_2}=71,04+2\\
\phantom{u_2}=73,04$mathjax$

Question 2) :

$mathjax$u_1-u_0=74-75\
\phantom{u_1-u_0}=-1$mathjax$

$mathjax$u_2-u_1=73,04-74\
\phantom{u_2-u_1}=-0,96$mathjax$

$mathjax$u_2-u_1≠u_1-u_0$mathjax$

donc la suite

$mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$

n'est pas arithmétique.

$mathjax$\frac{u_1}{u_0}=\frac{74}{75}$mathjax$

$mathjax$\frac{u_2}{u_1}=\frac{73,04}{74}\\
\phantom{\frac{u_2}{u_1}}=\frac{7304}{7400}\\
\phantom{\frac{u_2}{u_1}}=\frac{913}{925}$mathjax$

$mathjax$\frac{u_2}{u_1}≠\frac{u_1}{u_0}$mathjax$

donc la suite

$mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$

n'est pas géométrique.

Question 3) :
Comme déjà détaillé en question 1), pour tout entier naturel n :

$mathjax$u_{n+1}=u_n\left(1-\frac{4}{100}\right)+2\\
\phantom{u_2}=0,96 u_n+2$mathjax$

Question 4)a) :

$mathjax$v_n=u_n-50\Leftrightarrow u_n=v_n+50$mathjax$

Pour tout entier naturel n :

$mathjax$v_{n+1}=u_{n+1}-50\\
\phantom{v_{n+1}}=0,96 u_n+2-50\\
\phantom{v_{n+1}}=0,96 u_n-48\\
\phantom{v_{n+1}}=0,96(v_n+50)-48\\
\phantom{v_{n+1}}=0,96 v_n+0,96\times 50-48\\
\phantom{v_{n+1}}=0,96 v_n+48-48\\
\phantom{v_{n+1}}=0,96 v_n$mathjax$

Donc

$mathjax$\left(v_n\right)$mathjax$

est une suite géométrique de raison

$mathjax$q=0,96$mathjax$

et de premier terme

$mathjax$v_0=u_0-50\\
\phantom{v_0}=75-50\\
\phantom{v_0}=25$mathjax$

.

Question 4)b) :
Donc pour tout entier naturel n :

$mathjax$v_n=v_0 q^n\\
\phantom{v_n}25\times 0,96^n$mathjax$

Question 4)c) :
Donc pour tout entier naturel n :

$mathjax$u_n=v_n+50\\
\phantom{u_n}=25\times 0,96^n+50$mathjax$

Question 4)d) :

$mathjax$\lim\limits_{n\to\infty} 0,96^n=0$mathjax$

car

$mathjax$0,96<1$mathjax$

.
Donc

$mathjax$\lim\limits_{n\to\infty} u_n=25\times 0+50\\
\phantom{\lim\limits_{n\to\infty} u_n}=0+50\\
\phantom{\lim\limits_{n\to\infty} u_n}=50$mathjax$

A long terme, la quantité d'eau stabilisera son recul autour de 40m³.

Question 5)a) :
L'algorithme s'articule autour d'une boucle Tant que.
Il utilise 2 variables :

l'entier n qui est initialisée à 0 puis incrémentée de 1 dans le corps de la boucle est donc le nombre de jours écoulés
le réel u qui est initialisé à
$mathjax$u_0=75$mathjax$
est donc la quantité d'eau de la piscine

A chaque fois qu'un jour s'écoule, la variable u doit donc être modifiée selon la relation de récurrence

$mathjax$u_{n+1}=0,96 u_n+2$mathjax$

:
L6 : u prend la valeur 0,96u+2

On souhaite que l'algorithme détermine le nombre de jours au bout duquel la quantité devient inférieure à 65m³, c'est-à-dire u≤65.
La recherche via la boucle Tant que doit donc se poursuivre tant que l'on n'obtient pas cette condition.
Sa condition de poursuite est donc le contraire : u>65.
L5 : Tant que u>65

Question 5)b) :

Pour obtenir le résultat ainsi que sa justification avec la trace par itération, rajoutons une instruction d'affichage en fin de boucle et programmons l'algorithme sur notre calculatrice graphique.

Algorithme

Programme

Code: Select all: Variables : n entier naturel u réel Traitement : n prend pour valeur 0 u prend pour valeur 75 Tant que u>65 u prend la valeur 0,96u+2 n prend la valeur n+1 Afficher n, u et u>65 Fin Tant que Sortie : Afficher n