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Correction exo 5 Obligatoire BAC S 2017 (Amérique du sud)

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Correction exo 5 Obligatoire BAC S 2017 (Amérique du sud)

Unread postby critor » 23 Nov 2017, 18:00

Correction exercice n°5 (algo) du sujet Obligatoire de Maths du BAC S 2017 d'Amérique du sud :
https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=2449

Question A)1)
:

La croissance annuelle est de 5%.
Donc pour tout entier naturel
n
,
$mathjax$v_{n+1}=\left(1+\frac{5}{100}\right)v_n\\
\phantom{v_{n+1}}=(1+0,05)v_n\\
\phantom{v_{n+1}}=1,05 v_n$mathjax$


La suite
$mathjax$\left(v_n\right)$mathjax$
est donc une suite géométrique de raison
$mathjax$q=1,05$mathjax$
et de premier terme
$mathjax$v_0=12$mathjax$
.

Donc pour tout entier naturel
n
,
$mathjax$v_n=v_0\times q^n\\
\phantom{v_n}=12\times 1,05^n$mathjax$


Question A)2)
:

$mathjax$\lim_{n\to+\infty}1,05^n=+\infty$mathjax$
car 1,05>1
Donc
$mathjax$\lim_{n\to+\infty}v_n=+\infty$mathjax$

Le modèle ne respecte pas la contrainte naturelle de 60000 individus.

Question B)1)a)
:

g
est dérivable car somme de fonctions dérivables.
Pour tout réel
x
,
$mathjax$g'(x)=-\frac{1,1}{605}\times 2 x+1,1\\
\phantom{g'(x)}=-\frac{2,2}{605}x+1,1$mathjax$


$mathjax$g'(x)\geq 0\Leftrightarrow -\frac{2,2}{605}x+1,1\geq 0\\
\phantom{g'(x)\geq 0}\Leftrightarrow 1,1\geq\frac{2,2}{605}x\\
\phantom{g'(x)\geq 0}\Leftrightarrow \frac{2,2}{605}x\leq 1,1\\
\phantom{g'(x)\geq 0}\Leftrightarrow \frac{2,2}{605}x\times 605\leq 1,1\times 605\\
\phantom{g'(x)\geq 0}\Leftrightarrow 2,2 x\leq 665,5\\
\phantom{g'(x)\geq 0}\Leftrightarrow \frac{2,2 x}{2,2}\leq\frac{665,5}{2,2}\\
\phantom{g'(x)\geq 0}\Leftrightarrow x\leq 302,5$mathjax$


Donc
g
est croissante sur
$mathjax${]-}\infty;302,5]$mathjax$
et donc sur
$mathjax$[0;60]$mathjax$
.

Question B)1)b)
:

$mathjax$g(x)=x\Leftrightarrow-\frac{1,1}{605}x^2+1,1x=x\\
\phantom{g(x)=x}\Leftrightarrow -\frac{1,1}{605}x^2+1,1x-x=x-x\\
\phantom{g(x)=x}\Leftrightarrow -\frac{1,1}{605}x^2+0,1x=0\\
\phantom{g(x)=x}\Leftrightarrow x\left(-\frac{1,1}{605}x+0,1\right)=0\\
\phantom{g(x)=x}\Leftrightarrow x=0\text{ ou }-\frac{1,1}{605}x+0,1=0\\
\phantom{g(x)=x}\Leftrightarrow x=0\text{ ou }-\frac{1,1}{605}x+0,1-0,1=0-0,1\\
\phantom{g(x)=x}\Leftrightarrow x=0\text{ ou }-\frac{1,1}{605}x=-0,1\\
\phantom{g(x)=x}\Leftrightarrow x=0\text{ ou }\frac{1,1}{605}x=0,1\\
\phantom{g(x)=x}\Leftrightarrow x=0\text{ ou }\frac{1,1}{605}x\times 605=0,1\times 605\\
\phantom{g(x)=x}\Leftrightarrow x=0\text{ ou }1,1 x=60,5\\
\phantom{g(x)=x}\Leftrightarrow x=0\text{ ou }\frac{1,1 x}{1,1}=\frac{60,5}{1,1}\\
\phantom{g(x)=x}\Leftrightarrow x=0\text{ ou }x=55$mathjax$


Question B)2)a)
:

$mathjax$u_1=g\left(u_0\right)\\
\phantom{u_1}=g\left(12\right)\\
\phantom{u_1}=-\frac{1,1}{605}\times 12^2+1,1\times 12\\
\phantom{u_1}=-\frac{1,1}{605}\times 144+13,2\\
\phantom{u_1}=-\frac{158,4}{605}+13,2\\
\phantom{u_1}=-\frac{158,4}{605}+\frac{13,2\times 605}{605}\\
\phantom{u_1}=\frac{-158,4}{605}+\frac{7986}{605}\\
\phantom{u_1}=\frac{-158,4+7986}{605}\\
\phantom{u_1}=\frac{7827,6}{605}\\
\phantom{u_1}\approx 12,938$mathjax$


Au bout d'un an, la population sera donc de 12938 individus.

Question B)2)b)
:

Montrons par récurrence la propriété
$mathjax$0\leq u_n\leq 55$mathjax$


Initialisation : pour
$mathjax$n=0$mathjax$
,
$mathjax$u_0=12$mathjax$
et donc
$mathjax$0\leq u_0\leq 55$mathjax$
.

Hérédité : Supposons qu'à un certain rang
n
,
$mathjax$0\leq u_n\leq 55$mathjax$
.
Montrons alors que l'on a alors
$mathjax$0\leq u_{n+1}\leq 55$mathjax$
.
$mathjax$0\leq u_n\leq 55\Rightarrow g(0)\leq g\left(u_n\right)\leq g(55)\text{car g est croissante sur} [0;60]\\
\phantom{0\leq u_n\leq 55}\Leftrightarrow 0\leq g\left(u_n\right)\leq-\frac{1,1}{605}55^2+1,1\times 55\\
\phantom{0\leq u_n\leq 55}\Leftrightarrow 0\leq g\left(u_n\right)\leq-\frac{1,1}{605}3025+60,5\\
\phantom{0\leq u_n\leq 55}\Leftrightarrow 0\leq g\left(u_n\right)\leq-\frac{1,1\times 3025}{605}+60,5\\
\phantom{0\leq u_n\leq 55}\Leftrightarrow 0\leq g\left(u_n\right)\leq-\frac{3327,5}{605}+60,5\\
\phantom{0\leq u_n\leq 55}\Leftrightarrow 0\leq g\left(u_n\right)\leq-5,5+60,5\\
\phantom{0\leq u_n\leq 55}\Leftrightarrow 0\leq g\left(u_n\right)\leq 55$mathjax$


Conclusion : Donc pour tout entier naturel
n
,
$mathjax$0\leq u_n\leq 55$mathjax$
.

Question B)2)c)
:

Pour tout entier naturel
n
,
$mathjax$u_{n+1}-u_n=g\left(u_n\right)-u_n\\
\phantom{u_{n+1}-u_n}=u_n\left(-\frac{1,1}{605}u_n+0,1\right)\text{ d'après 1)b)}$mathjax$


D'une part,
$mathjax$0\leq u_n\leq 55\Rightarrow u_n\geq 0$mathjax$
.

D'autre part,
$mathjax$0\leq u_n\leq 55\Leftrightarrow-\frac{1,1}{605}0\geq-\frac{1,1}{605}u_n\geq-\frac{1,1}{605}55\text{ car }-\frac{1,1}{605}<0\\
\phantom{0\leq u_n\leq 55}\Leftrightarrow 0\geq-\frac{1,1}{605}u_n\geq-\frac{1,1\times 55}{605}\\
\phantom{0\leq u_n\leq 55}\Leftrightarrow 0\geq-\frac{1,1}{605}u_n\geq-\frac{60,5}{605}\\
\phantom{0\leq u_n\leq 55}\Leftrightarrow 0\geq-\frac{1,1}{605}u_n\geq-0,1\\
\phantom{0\leq u_n\leq 55}\Leftrightarrow 0+1,1\geq-\frac{1,1}{605}u_n+1,1\geq-0,1+1,1\\
\phantom{0\leq u_n\leq 55}\Leftrightarrow 1,1\geq-\frac{1,1}{605}u_n+1,1\geq 1\\
\phantom{0\leq u_n\leq 55}\Rightarrow 1,1\geq-\frac{1,1}{605}u_n+1,1\geq 1>0\\
\phantom{0\leq u_n\leq 55}\Rightarrow 1,1\geq-\frac{1,1}{605}u_n+1,1>0$mathjax$


Donc
$mathjax$u_n\left(-\frac{1,1}{605}u_n+0,1\right)\geq 0$mathjax$
.
$mathjax$u_{n+1}-u_n>0\Leftrightarrow u_{n+1}>u_n$mathjax$
.
La suite
$mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$
est donc croissante.

Question B)2)d)
:

La suite
$mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$
est donc croissante, et majorée par 55 d'après le b).
Elle est donc convergente vers
$mathjax$l\leq55$mathjax$
.

Question B)2)e)
:

$mathjax$g(l)=l\Leftrightarrow l=0\text{ ou }l=55$mathjax$
d'après 1)b).
Or, la suite
$mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$
étant croissante de premier terme
$mathjax$u_0=12$mathjax$
, elle ne peut converger vers 0.
Donc
$mathjax$l=55$mathjax$
.

Sur le long terme, la croissance de la population va se tasser pour la stabiliser à 55000 individus.
Comme 55000<60000, le modèle respecte les contraintes du milieu naturel et est donc acceptable.

Question B)3)
:

L'algorithme s'articule autour d'une unique boucle
Tant que
.
Il utilise 2 variables :
  • n
    initialisée à 0 qui est donc le nombre d'années écoulées
  • u
    initialisée à
    $mathjax$u_0=12$mathjax$
    qui est donc le nombre d'individus en milliers
    $mathjax$u_n$mathjax$

Pour respecter ces interprétations, nous avons dans la boucle :
  • la valeur de
    u
    qui est remplacée par celle de l'année suivante, c'est-à-dire
    $mathjax$g(u)=-\frac{1,1}{605}u^2+1,1 u$mathjax$
    .
  • la valeur de
    n
    qui est incrémentée de 1 pour passer à l'année suivante

L'algorithme doit se terminer lorsque la population dépasse 50000 individus, c'est-à-dire sur la réalisation de la condition
$mathjax$u\geq50$mathjax$
.
La condition de poursuite de la boucle
Tant que
est le contraire, c'est-à-dire
$mathjax$u<50$mathjax$
.

Enfin l'algorithme doit retourner un nombre d'années, c'est-à-dire la valeur de la variable
n
.

D'où l'algorithme ainsi complété :
Code: Select all
Variables :
   n un entier naturel
   u un nombre réel
Traitement :
   n prend la valeur 0
   u prend la valeur 12
   Tant que u<50
      u prend la valeur -1,1/605×u²+1,1u
      n prend la valeur n+1
   Fin Tant que
Sortie :
   Afficher n
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