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Catégorie :Category: mViewer GX Creator Lua TI-Nspire
Auteur Author: gʔʔraudkgb
Type : Classeur 3.6
Page(s) : 154
Taille Size: 6.62 Mo MB
Mis en ligne Uploaded: 22/05/2020 - 23:10:49
Uploadeur Uploader: gʔʔraudkgb (Profil)
Téléchargements Downloads: 3
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a2621398

Description 

Intégrales curvilignes et de surfaces

Fabrice Dodu



F ORMATION C ONTINUE : DUT+3




D ÉPARTEMENT DE M ATHÉMATIQUES : INSA T OULOUSE
2000-2001
Version 1.0
Sommaire

I Le cours 6
1 Intégrales curvilignes 8
1.1 Notions sur les arcs paramétrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2 Premières définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.3 Arcs orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.4 Points particuliers et tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.5 Longueur d’un arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Circulation d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Calcul pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.3 Champ dérivant d’un potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.4 Formule de Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22


Sommaire Entrées canoniques 2 Documents Exemples
Exercices
2 Intégrales de surfaces 24
2.1 Notions sur les surfaces paramétrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.2 Définition : plan tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.3 Aire d’une surface non plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Flux d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.1 Flux et intégrale de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Théorèmes intégraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1 Théorème de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.2 Théorème d’Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37


II Les annexes 39
A Les exemples 40
A.1 Exemples du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
A.1.1 Arc paramétré dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
A.1.2 Arc paramétré dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
A.1.3 Arc paramétré dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
A.1.4 Orientation et tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
A.1.5 Circulation d’un champ de IR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A.2 Exemples du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
A.2.1 La sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
A.2.2 Le parapluie de Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Sommaire Entrées canoniques 3 Documents Exemples
Exercices
A.2.3 Equation cartésienne d’une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
A.2.4 Equation cartésienne du plan tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

B Les exercices 51
B.1 Exercices du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
B.1.1 Points simples et multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
B.1.2 Périmètre du cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
B.1.3 Longueur d’un arc défini par une équation cartésienne y = f (x) . . . . . . . . . . . . 55
B.1.4 Travail sur une demi-ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
B.1.5 Travail sur une helice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
B.1.6 Travail d’un champ dérivant d’un potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
B.1.7 Exercice : premier bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
B.1.8 Calcul d’aire d’une surface plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
B.1.9 Exercice : second bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
B.2 Exercices du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
B.2.1 Plan tangent à une surface définie par son équation cartésienne . . . . . . . . . . . . 62
B.2.2 Aire d’un cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
B.2.3 Flux à travers une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
B.2.4 Exercice : premier bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
B.2.5 Application à la formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
B.2.6 Application à la formule d’Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
B.2.7 Exercice difficile : pour le plaisir... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68




Sommaire Entrées canoniques 4 Documents Exemples
...

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