Chapitres 5 : la fonction exponentielle 11 décembre 2015




Contrôle de mathématiques
Lundi 14 décembre 2015


Exercice 1
ROC (3 points)
On pose la fonction f définie sur R par : f (x) = e x − x.
1) Étudier les variations de f et montrer que : ∀x ∈ R, f (x) > 0.
2) En déduire que lim e x = +∞.
x→+∞
3) En faisant un changement de variable astucieux démontrer que : lim e x = 0.
x→−∞


Exercice 2
Propriétés, équation et inéquation (3 points)
On justifiera chaque étape des résolutions suivantes.

1) Résoudre dans R, les équations suivantes :
 2
a) e3x−1 = 1 b) e3−x × e2x−1 = e5+x
2
2) Résoudre dans R, l’inéquation suivante : e x −x < e.

Exercice 3
Limite et dérivée. (2 points)

1) En mettant en évidence les limites de référence, déterminer : lim (3 − x)e x .
x→−∞
−x
2) Déterminer la dérivée de la fonction f définie sur R par : f (x) = e − xe−x + 1.

Exercice 4
Fonction (4 points)
x
e
Soit la fonction f définie sur R par : f (x) = .
−x ex
1) Déterminer les limites de f en +∞ et en −∞.
2) Déterminer la fonction dérivée de la fonction f .
3) En déduire les variations de la fonction f puis dresser son tableau de variation.

Exercice 5
D’après le bac (7 points)
Le but de cet exercice est d’étudier la suite (un ) définie par :
u0 = −1 et, pour tout n de N, un+1 = e2un − eun .
On remarquera que cette égalité peut aussi s’écrire : un+1 = eun (eun − 1).
On pourra poser éventuellement f (x) = e2x − e x


Paul Milan 1 Terminale S
 contrôle de mathématiques


1) Soit g la fonction définie pour tout réel x par : g(x) = e2x − e x − x
a) Calculer g′ (x) et prouver que, pour tout réel x : g′ (x) = (e x − 1)(2e x + 1).
b) Déterminer les variations de la fonction g et donner la valeur de son minimum.
2) a) En remarquant que un+1 − un = g(un ), étudier le sens de variation de la suite (un ).
b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un 6 0.
c) Déduire des questions précédentes que la suite (un ) est convergente vers ℓ.
d) Montrer que la limite ℓ vérifie l’équation : g(x) = 0. En déduire la limite ℓ

3) L’algorithme suivant a pour but de déter- Variables : n, p : entiers u : réel
miner le plus petit entier n tel que : Entrées et initialisation
Saisir la valeur de p
|un | < 10−p , où p désigne un entier positif. n prend la valeur 0
Cet algorithme est incomplet. u prend la valeur −1
Traitement
tant que . . . . . . faire
... ...
... ...
fin
Sorties : Afficher n

a) Sur la copie, recopier la partie « Traitement » en la complétant.
b) À l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur affichée par cet algorithme pour
p = 2.


Exercice 6
Trouver une fonction (2 points)

Le directeur d’un zoo souhaite faire
construire un toboggan pour les pandas. Il
réalise le schéma ci-contre de ce toboggan
en perspective cavalière.
Le profil de ce toboggan est modélisé par la
courbe C représentant la fonction f définie
sur l’intervalle [1 ; 8] par :

f (x) = (ax + b)e−x où a ∈ N et b ∈ N

La courbe C est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé dont l’unité est le mètre.

1) On souhaite que la tangente à la courbe 4
C en son point d’abscisse 1 soit horizon-
3
tale.
Déterminer la valeur de l’entier b. 2 C
2) On souhaite que le haut du toboggan soit
1
situé entre 3, 5 et 4 mètres de haut.
Déterminer la valeur de l’entier a.
O 1 2 3 4 5 6 7 8




Paul Milan 2 Terminale S