de (Merci d'avance parce que c'est pas agréable à lire, je le sais bien
)Si vous ne comprenez pas ce que je fais, sautez la partie compliquée que je sais faire et lisez juste la dernière ligne, ou je ne sais pas faire
Attention, les maths de ce post piquent les yeux, à consommer avec modération. Demandez conseil à votre pharmacien.
Il s'agit de modéliser la dynamique d'une population (classique
) par le modèle dit "à effet Allee".De nombreux PDF sur Google utilisent le modèle sans faire la résolution de l'équation différentielle. Donc je me demande si je suis mauvais, ou si de toutes façons on ne peut pas la résoudre.
Bref, le problème:
- x(t) est le nombre d'individus au temps t, on cherche justement cette fonction x
- K la capacité maximale du milieu, strictement positive
- M le paramètre de l'effet Allee, compris entre 0 et K
- r le taux d'accroissement naturel divisé par K, supposé strictement positif.
$mathjax$\left\{
\begin{matrix}
x' = rx(K-x)(x-M)
\\ x(0)=x_0 > 0
\end{matrix}\right.
=
\left\{
\begin{matrix}
x' = -KMr.x+(K+M)r.x^{2}-r.x^{3}
\\ x(0)=x_0 > 0
\end{matrix}\right.$mathjax$
\begin{matrix}
x' = rx(K-x)(x-M)
\\ x(0)=x_0 > 0
\end{matrix}\right.
=
\left\{
\begin{matrix}
x' = -KMr.x+(K+M)r.x^{2}-r.x^{3}
\\ x(0)=x_0 > 0
\end{matrix}\right.$mathjax$
C'est une équation de Bernoulli: avec P=kMr , Q=-(K+M)r , R=r ;
$mathjax$x' + Px +Qx²+Rx^{3}=0$mathjax$
Le plus haut degré de x est de 3 (>1) donc on recherche des solutions x telles que
$mathjax$x(t)\neq0$mathjax$
quelque soit $mathjax$t\in[0,+\infty[$mathjax$
.$mathjax$x\equiv0$mathjax$
est exclue car $mathjax$x(0)=x_0 > 0$mathjax$
.- Je divise l'équation par x^3 puisque x ne s'annule jamais:$mathjax$\frac{x'}{x^{3}}+P.\frac{1}{x²}+Q.\frac{1}{x}+R=0$mathjax$
- Je pose $mathjax$u_1=\frac{1}{x²}$mathjax$et$mathjax$u_1 '=x'.\frac{-2}{x^{3}}$mathjax$: On obtient$mathjax$\frac{-1}{2}.u_1 '+P.u_1 -2Q.u_1^{\frac{1}{2}} = 2R$mathjax$, qui est une autre équation de Bernoulli, quand on la met sous la forme$mathjax$u_1 '-2P.u_1 +4Q.u_1^{\frac{1}{2}} = -4R$mathjax$
Qu'à cela ne tienne, je vais traiter cette deuxième équation comme je l'ai fait avec la première: Le degré bizarre cette fois ci est 1/2, on recherche donc des u1(t) strictement positifs quelque soit t.
- Je divise l'équation par u1^(1/2) puisque u1 est strictement positive: $mathjax$\frac{u_1 '}{\sqrt{u_1}}-2P.\sqrt{u_1} +4Q = \frac{-4R}{\sqrt{u_1}}$mathjax$
- je pose $mathjax$u_2 = \sqrt{u_1}$mathjax$et$mathjax$u_2 '= \frac{1}{2}\frac{u_1 '}{\sqrt{u_1}}$mathjax$: On obtient une équation linéaire non homogène:$mathjax$u_2 ' + P.u_2 = -2Q-2R.\frac{1}{u_2}$mathjax$
EDIT: on me fait remarquer que non, étant donné la présence du 1/u2 , ce n'est pas linéaire.
Je tente donc de résoudre ça comme on me l'a appris pour les équations linéaires non homogènes:
- Je multiplie l'équation par $mathjax$e^{\int_{0}^{t}(P.ds)}=e^{P.t}$mathjax$: ça me donne$mathjax$(e^{P.t}.u_2)'=-2Q.e^{P.t}-2R.\frac{1}{u_2(t)}.e^{P.t}$mathjax$
- J'intègre entre 0 et t : $mathjax$\left [e^{P.s}.u_2(s) \right ]_{0}^{t}=-2Q\left [ \frac{e^{P.s}}{P} \right ]_{0}^{t}-2R.\int_{0}^{t}(\frac{1}{u_2(s)}.e^{P.s}.ds)$mathjax$
Et là, je ne sais pas calculer cette dernière intégrale. Et je me sens dégouté. Profondément.
Savez vous la calculer, ce qui permettrait de trouver u2(t), et donc u1(t), et donc x(t) ?
Avez vous une autre méthode de résolution ?
Merci à tous pour votre soutien intellectuel et psychologique face à ce problème ^^
Avec tout mon amour
,Persalteas
