Distance point-droite dans l'espace

[davidElmaleh]

Bonjour, j'aimerais bien avoir un peu d'aide en maths. Voila :
On dispose d'une droite d'équation paramétrique :
x = x1*t+x0
y = y1*t+y0
z = z1*t+z0
Et du point A de coordonées (xA,yA,zA)
On veut la distance du point A à la droite D.
(Je suis en Terminale S, prière de ne pas utiliser le produit vectoriel dans votre réponse )

[Levak]

(Je suis en Terminale S, prière de ne pas utiliser le produit vectoriel dans votre réponse )

On apprend plus le produit vectoriel en Terminale ?

[davidElmaleh]

malheureusement pas

[AnToX98]

Euh si je suis entrain de le faire en première...

[davidElmaleh]

Je ne parle pas du produit scalaire

[davidElmaleh]

Je pense avoir trouvé un bon raisonnement :
Soit la droite (d) d'équation paramétrique :
x = x1*t+x0
y = x1*t+y0
z = x1*t+z0
et A, le point de coordonnées (xA,yA,zA)
Trouvons l'équation du plan contenant A et la droite (d) :
Les points B(x0,y0,c0) et C(x0+x1,y0+y1,z0+z1) passent par (d). Nous avons donc 3 points, nous pouvons trouver l'eqn cartésienne du plan (ABC)
Soit n(a,b,c), le vect. directeur du plan (ABC).
On a : n.AB = 0 = n.BC
D'où le système :
(x0-xA)*a+(y0-yA)*b+(z0-zA)*c=0
x1*a+y1*b+z1*c=0
Après résolution, on trouve :
a = ((c*(y0*z1-y1*(z0-za)-ya*z1))/(x0*y1-x1*(y0-ya)-xa*y1)), b = ((−c*(x0*z1-x1*(z0-za)-xa*z1))/(x0*y1-x1*(y0-ya)-xa*y1))
On remplace c par 1. On a :
a = (y0*z1-y1*(z0-za)-ya*z1)/(x0*y1-x1*(y0-ya)-xa*y1), b = -(x0*z1-x1*(z0-za)-xa*z1)/(x0*y1-x1*(y0-ya)-xa*y1) et c=1
Ainsi, l'eqn du plan (ABC) est :
ax+by+z+d=0.
On remplace avec les coord de a, on trouve d = ((−(x0*(y1*za-ya*z1)-x1*(y0*za-ya*z0)+xa*(y0*z1-y1*z0)))/(x0*y1-x1*(y0-ya)-xa*y1))
Finalement, l'eqn cartésienne du plan (ABC) est :
ax+by+z+d=0.
Trouvons le plan qui lui est perpandiculaire et qui passe par la droite (d). Il a pour vect. normale n1(a',b',c').
On sait aussi que n.n1 = 0
soit donc : aa'+bb'+cc'=0
De plus, les points B et C appartiennent à ce plan.
d'où n.BC = 0
soit donc : x1*a'+y1*b'+z1*c' = 0
On trouve a',b' et c' par résolution du système :
x1*a'+y1*b'+z1*c' = 0
aa'+bb'+cc'=0
Puis on trouve l'eqn cartésienne de ce plan, nommé (P2)

On considère A', le projeté orth. de A sur (d), A2, sur (P2).
A' et A2 sont confondus. Donc, d(A,(d)) = d(A,(P2))

[Bisam]

@Levak : Le produit vectoriel n'est même plus au programme de maths de Maths Sup ! Il n'est vu qu'en Physique et en SI...

Malheureusement, le produit vectoriel est de très loin la meilleur méthode !!
Si on appelle M0 le point de coordonnées (x0,y0,z0) et

$mathjax$\vec{u}$mathjax$

le vecteur de coordonnées (x1,y1,z1), alors le parallélogramme formé par les deux vecteurs

$mathjax$\vec{u}$mathjax$

et

$mathjax$\vec{AM_0}$mathjax$

a pour aire

$mathjax$\|\vec{u}\|\times d$mathjax$

où d est la distance cherchée.
Et pour calculer l'aire de ce parallélogramme, le plus simple est de calculer la norme du produit vectoriel de

$mathjax$\vec{u}$mathjax$

et

$mathjax$\vec{AM_0}$mathjax$

.

Si on veut éviter le produit vectoriel, on peut calculer l'aire avec le produit des normes multiplié par la valeur absolue du sinus de l'angle entre les deux... et on peut obtenir le cosinus avec un produit scalaire, ce qui permet d'obtenir la valeur absolue du sinus.

[davidElmaleh]

Sinon, voici un autre raisonnement :
Soit la droite (d) d'équation paramétrique :
x = x1*t+x0
y = x1*t+y0
z = x1*t+z0
A, le point de coordonnées (xA,yA,zA)
et M, un point de la droite (d), qui a donc pour coordonnées :
x = x1*t+x0
y = x1*t+y0
z = x1*t+z0
Le vecteur AM, a pour coord. :
x = x1*t+x0-xA
y = x1*t+y0-yA
z = x1*t+z0-zA
Or, on sait que AM.u (u étant le vect. directeur de d) = 0. On trouve alors les coordonnées du vecteur AM puis sa norme.
C'est, pour moi, le raisonnement le plus court et le plus rapide à réaliser

[matref]

Sans produit vectoriel, cette dernière méthode me semble en effet être la plus facile/sensée.

[Bisam]

Très bonne idée.
En fait, cela revient à calculer d'abord le projeté orthogonal de A sur la droite.