[Exercices Maths Laurae #5] Limites #2

[Laurae]

Dernière mise à jour : 28/06/2013
Bonne lecture !

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Compilation des exercices et des corrigés : Compilation Laurae


Nous avançons cette fois vers des les limites accompagnées de sommes d'une fonction, permettant de déterminer le nombre de solutions d'une fonction.
Les solutions sont toujours indiquées sur le premier post en pièce jointe.
Vous gagnez 5 étoiles pour une réponse meilleure que celle proposée.

Meilleures réponses :
- Hayleia : viewtopic.php?f=67&t=12578#p145089

[Hayleia]

[edit] En fait j'ai fait la même chose que Laurae mais en moins détaillé et en moins bien rédigé, mais je ne pouvais pas le savoir puisqu'il a posté son corrigé après que j'aie posté ma réponse. Donc si vous voulez savoir ce que j'ai fait, je vous conseille plutôt de lire son corrigé. Pour ceux qui veulent quand même ma réponse, elle est dans le spoiler ci-dessous.[/edit]

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Supposons y>0
Soit j dans {1,...,n-1}
On a:
-limite quand x tend vers a(j) de f(x)=+l'infini
-limite quand x tend vers a(j+1) de f(x)=-l'infini
-f est continue sur ]a(j),a(j+1)[
Donc d'après le TVI étendu, il existe cj dans ]a(j),a(j+1)[ tel que f(cj)=y
Ça nous fait n-1 solutions (les cj sont deux à deux différents car se trouvent dans des intervalles disjoints).
Mais il y en a encore une sur ]a(n),+l'infini[ avec un raisonnement du même type.

Supposons y<0
Recopier la démo précédente, mais cette fois avec la dernière solution sur ]-l'infini,a(1)[

Supposons y=0
Toujours la même démo pour les n-1 solutions.
Sauf que là, il n'y en a pas d'autre. En effet, par dérivation, la dérivée de f est toujours strictement négative donc f est décroissante. De plus, limite en a(n)=+l'infini et limite en +l'infini=0 donc pour tout x dans ]a(n),+l'infini[, f(x)>0 (donc non égal à zero), et pareil sur ]-l'infini,a(1)[.

[nikitouzz]

Bon j'ai fait une solution que j'ai perdu a cause d'une erreur 404 donc je peut pas la remarquer mais j'ai trouvé comme laurae (en expliquant mùoins de truc....)