[Exercices Maths Laurae #1] Limites #1

[nikitouzz]

sin(2/x)=0.5*(exp(-2*i/x)+exp(2*​i/x))*(i*exp(-2*i/x)+i*exp(2*i/x)​)=0.5*i*exp(-4i/x)*(1+exp(4i/x))*​(1+exp(4i/x)

donc f(x)= (i*exp(-4i/x)*(1+exp(4i/x))*​(1+exp(4i/x))/(x*x+1)
donc lim=(i*1*2*2)/+inf

donc lim=0

[Lionel Debroux]

Vu que -1 <= sin(x) <= 1, pour x réel, on s'en fiche, du sin, pour le calcul des trois limites, que ce soit en -oo, 0 ou +oo

En -oo et +oo, la fonction est voisine de 2x/x^2, c'est à dire 2/x, limite 0 dans les deux cas.
En 0, on a 2*0*(quelque chose entre -1 et +1)/(0+1), soit également une limite de 0.

[mdr1]

Vu que -1 <= sin(x) <= 1, pour x réel, on s'en fiche, du sin, pour le calcul des trois limites, que ce soit en -oo, 0 ou +oo

Il faut plus détailler, par exemple, les limites de cos(x)/x et sin(x)/x en 0 ne sont pas égales alors que ta propriété est vraie pour cos et sin.

[Bisam]

Je vais mettre tout le monde d'accord... je spoile, pour ceux qui ne veulent pas la solution directement...

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On remarque en premier lieu que f est définie sur R*, et qu'elle est paire.
Ensuite, pour tout x dans R*, on a |f(x)|<=2|x|/(x^2+1).
On peut donc conclure, par le théorème de limite par encadrement (aussi appelé th. des gendarmes) que f(x) tend vers 0 en +oo, en -oo, et en 0.

C'était ce qu'avait dit Lionel... mais un peu brutalement.