Problème de dérivée

[Emmanuel Dessane]

Bonjour,

Pourrait-on m'expliquer comment ils trouvent ça lors de cette dérivation ? Merci

[Afyu]

$mathjax$f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$mathjax$

avec

$mathjax$u(x)=e^x - e^{-x}$mathjax$

et

$mathjax$v(x)= e^x+e^{-x}$mathjax$

Or

$mathjax$f$mathjax$

est la forme

$mathjax$\dfrac{u}{v}$mathjax$

donc sa dérivée est

$mathjax$f'=\dfrac{u' v - u v'}{v^2}$mathjax$

Par ailleurs, la dérivée de

$mathjax$e^x$mathjax$

est

$mathjax$e^x$mathjax$

et la dérivée de

$mathjax$e^{-x}$mathjax$

est

$mathjax$-e^{-x}$mathjax$

donc on obtient :

$mathjax$u'(x)=e^x- \left( -e^{-x}\right) = e^x+e^{-x}$mathjax$

et en fait on retrouve, dans ce cas très particulier, l'expression de

$mathjax$v(x)$mathjax$

$mathjax$v'(x)=e^x+(-e^{-x}) = e^x - e^{-x}$mathjax$

et en fait on retrouve, dans ce cas très particulier, l'expression de

$mathjax$u(x)$mathjax$

Donc finalement, dans ce cas très particulier, on a

$mathjax$u' v = v^2$mathjax$

et

$mathjax$u v' = u^2$mathjax$

Ainsi,

$mathjax$f'=\dfrac{u' v - u v'}{v^2}=\dfrac{v^2-u^2}{v^2}$mathjax$

Donc

$mathjax$f'(x)=\dfrac{\left(e^x+e^{-x}\right)^2-\left(e^x-e^{-x}\right)^2}{\left(e^x+e^{-x}\right)^2}=\dfrac{\left(e^x \right)^2+2e^xe^{-x}+\left(e^{-x}\right)^2- \left(\left(e^x \right)^2-2e^xe^{-x}+\left(e^{-x}\right)^2 \right)}{\left(e^x+e^{-x}\right)^2}$mathjax$

Donc

$mathjax$f'(x)=\dfrac{e^{2x}+2+e^{-2x}-e^{2x}+2-e^{-2x}}{\left(e^x+e^{-x}\right)^2}=\dfrac{4}{\left(e^x+e^{-x}\right)^2}$mathjax$

d'où le résultat annoncé.

[Emmanuel Dessane]

Ah merci beaucoup !
Je ne connaissais pas cette équivalence entre les deux propositions après "Ainsi, f' = ..."
C'est juste pour "ce cas très particulier" ou c'est vrai en général ?

[Adriweb]

Ben comme écrit juste au dessus, c'est parce que dans ce cas très particulier, on a

$mathjax$u' v = v^2$mathjax$

et

$mathjax$u v' = u^2$mathjax$

Du coup en remplaçant, on a l'égalité qui découle de la formule originale, et qui se simplifie.

[Emmanuel Dessane]

Oui, c'est ça, je n'osais y croire !