Correction exo 1 (algo) BAC STI2D/STL(SPCL) 2017 (Métropole)

[critor]

Correction exercice n°1 (algo) du sujet de Maths du BAC STI2D/STL(SPCL) 2017 de Métropole :
https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=2014

Question A) :
Posons n le nombre de jours pour que le réservoir nécessite une racharge.

$mathjax$660-0,1 n≤440\Leftrightarrow -0,1 n≤440-660\\
\phantom{660-0,1 n≤440}\Leftrightarrow -0,1 n≤-220\\
\phantom{660-0,1 n≤440}\Leftrightarrow 0,1 n≥220\\
\phantom{660-0,1 n≤440}\Leftrightarrow \frac{0,1 n}{0,1}≥\frac{220}{0,1}\\
\phantom{660-0,1 n≤440}\Leftrightarrow n≥220\times 10
\phantom{660-0,1 n≤440}\Leftrightarrow n≥2200$mathjax$

C'est donc au bout de 2200 jours que le réservoir nécessitera une recharge.

Question B)1) :
Pour tout entier naturel n,

$mathjax$u_{n+1}=0,99 u_n-0,1$mathjax$

.
Donc

$mathjax$u_1=u_{0+1}\\
\phantom{u_1}=0,99 u_0-0,1\\
\phantom{u_1}=0,99\times 660-0,1\\
\phantom{u_1}=653,4-0,1\\
\phantom{u_1}=653,3$mathjax$

De même

$mathjax$u_2=u_{1+1}\\
\phantom{u_2}=0,99 u_1-0,1\\
\phantom{u_2}=0,99\times 653,3-0,1\\
\phantom{u_2}=646,767-0,1\\
\phantom{u_2}=646,667$mathjax$

Question B)2)a) :
L'algorithme s'articule autour d'une boucle Pour.
Il utilise 3 variables :

• l'entier N, nombe de jours au bout duquel on souhait connaître la masse restante
• l'entier k, compter de la boucle Pour
• le réel u qui est initialisé à
  $mathjax$u_0=660$mathjax$
  est donc la masse restante

A chaque fois qu'un jour s'écoule, la variable u doit donc être modifiée selon la relation de récurrence

$mathjax$u_{n+1}=0,99 u_n-0,1$mathjax$

:
u prend la valeur 0,99u-0,1

Pour passer de

$mathjax$u_0$mathjax$

à

$mathjax$u_N$mathjax$

, la relation de récurrence doit être appliquée N fois, ce qui implique N itérations de la boucle Pour.
Pour k allant de 1 à N

Question B)2)b) :

Pour obtenir le résultat ainsi que sa justification avec la trace par itération, rajoutons une instruction d'affichage en fin de boucle et programmons l'algorithme sur notre calculatrice graphique.

Algorithme

Programme

Code: Tout sélectionner Variables :    N : entier naturel    k : entier naturel    u : réel Entrée :    Saisir N Initialisation :    u prend la valeur 660 Traitement :    Pour k allant de 1 à N       u prend la valeur 0,99u-0,1       Afficher k et u    Fin pour Sortie :    Afficher u

TI- 82/83/84 (français) TI- 82/83/84 (anglais) TI- Nspire 89/92/V200 Casio Graph Prizm/fx-CG Casio Classpad fx-CP HP Prime 39GII Code: Tout sélectionner Prompt N 660→U For(K,1,N    0.99U-0.1→U    Pause {K,arrondir(U,0)} End U Code: Tout sélectionner Prompt N 660→U For(K,1,N    .99U-.1→U    Pause {K,round(U,0)} End U Code: Tout sélectionner Define mesti2d2017(n)= Func    Local u,k    660→u    For k,1,n       0.99·u-0.1→u       Disp k,round(u,0)    EndFor    Return u EndFunc Code: Tout sélectionner ?→N 660→U For 1→K To N    0.99U-0.1→U    {K,U}◢ Next U Code: Tout sélectionner Paramètres : n 660⇒u For 1⇒k To n    0.99u-0.1⇒u    Print {k,u} Next Return u Code: Tout sélectionner EXPORT mesti2d2017(n) BEGIN U:=660; FOR K FROM 1 TO n DO   U:=0.99*U-0.1;   PRINT({K,ROUND(U,0)}); END; PRINT(U); END;

Voici la trace par itération de l'algorithme :

k	u
	660
1	653
2	647
3	640
4	634
5	627
6	621
7	614
8	608
9	602
10	596
11	590
12	584
13	578
14	572
15	566
16	560
17	555
18	549
19	544
20	538

Donc au bout de 20 jours il restera environ 538g au gramme près.

Question B)3)a) :
Pour tout entier naturel n,

$mathjax$v_n=u_n+10$mathjax$

.
Donc

$mathjax$v_0=u_0+10\\
\phantom{v_0}=660+10\\
\phantom{v_0}=670$mathjax$

Question B)3)b) :

$mathjax$\left(v_n\right)$mathjax$

est une suite géométrique de raison

$mathjax$q=0,99$mathjax$

.
Pour tout entier naturel n :

$mathjax$v_n=v_0 q^n\\
\phantom{v_n}=670\times 0,99^n$mathjax$

Question B)3)c) :

$mathjax$v_n=u_n+10\Leftrightarrow u_n=v_n-10$mathjax$

Donc pour tout entier naturel n :

$mathjax$u_n=670\times 0,99^n-10$mathjax$

Question B)3)d) :

$mathjax$u_{20}=670\times 0,99^{20}-10\\
\phantom{u_{20}}\approx 538$mathjax$

On confirme le résultat de la question B)2)b).

Question B)4) :
Avec un système étanche, l'automobiliste n'aurait pas du avoir besoin de recharger le réfrigérant avant 2200 jours, soit une dépense de 80€ en un peu plus de 6 ans.

Ici son système a une fuite, et la quantité de réfrigérant diminue beaucoup plus rapidement.
Il suffit de 20 jours pour qu'elle chute de 660g à 538g.
Et d'après l'algorithme programmé sur la calculatrice, il faut 40 jours pour qu'elle chute de 660g à moins de 440g (438g), le seuil de recharge.

Si l'automobiliste refuse la réparation de 400€, il devra donc recharger tous les 40 jours, soit

$mathjax$\frac{2200}{40}=55$mathjax$

fois en 2200 jours.
Cela lui coûterait donc en 2200 jours

$mathjax$55\times 80=4400€$mathjax$

.

Il vaut donc bien mieux faire la réparation et 1 recharge pour

$mathjax$400+80=480€$mathjax$

, c'est plus économique.