Question A)1) :
La fonction f définie sur
$mathjax$]0\,,\,1[$mathjax$
est dérivable, en tant que composée et produit de fonctions dérivables sur $mathjax$]0\,,\,1[$mathjax$
.$mathjax$\forall x \in ]0\,,\,1[$mathjax$
, $mathjax$f^{\prime}(x)=30\frac{\left(\frac{20x}{1-x}\right)^{\prime}}{\frac{20x}{1-x}}\\
\phantom{f^{\prime}(x)}=30\frac{(20x)^{\prime}(1-x)-20x(1-x)^{\prime}}{(1-x)^2}\frac{1-x}{20x}\\
\phantom{f^{\prime}(x)}=30\frac{20(1-x)-20x(-1)}{1-x}\frac{1}{20x}\\
\phantom{f^{\prime}(x)}=30\frac{20-20x+20x}{20x\left(1-x\right)}\\
\phantom{f^{\prime}(x)}=30\frac{20}{20x\left(1-x\right)}\\
\phantom{f^{\prime}(x)}=30\frac{1}{x\left(1-x\right)}\\
\phantom{f^{\prime}(x)}=\frac{30}{x\left(1-x\right)}$mathjax$
\phantom{f^{\prime}(x)}=30\frac{(20x)^{\prime}(1-x)-20x(1-x)^{\prime}}{(1-x)^2}\frac{1-x}{20x}\\
\phantom{f^{\prime}(x)}=30\frac{20(1-x)-20x(-1)}{1-x}\frac{1}{20x}\\
\phantom{f^{\prime}(x)}=30\frac{20-20x+20x}{20x\left(1-x\right)}\\
\phantom{f^{\prime}(x)}=30\frac{20}{20x\left(1-x\right)}\\
\phantom{f^{\prime}(x)}=30\frac{1}{x\left(1-x\right)}\\
\phantom{f^{\prime}(x)}=\frac{30}{x\left(1-x\right)}$mathjax$
Or,
$mathjax$\forall x \in ]0\,,\,1[$mathjax$
, $mathjax$x>0$mathjax$
et $mathjax$1-x>0$mathjax$
Donc
$mathjax$\forall x \in ]0\,,\,1[$mathjax$
, $mathjax$f^{\prime}(x)>0$mathjax$
et f est strictement croissante sur $mathjax$]0\,,\,1[$mathjax$
.Question A)2) :
On cherche les valeurs de x telles que
$mathjax$20≤f(x)≤120$mathjax$
.$mathjax$f(x)=20\Leftrightarrow 30 ln\left(\frac{20x}{1-x}\right)=20\\
\phantom{f(x)=20}\Leftrightarrow \frac{30 ln\left(\frac{20x}{1-x}\right)}{30}=\frac{20}{30}\\
\phantom{f(x)=20}\Leftrightarrow ln\left(\frac{20x}{1-x}\right)=\frac{2}{3}\\
\phantom{f(x)=20}\Leftrightarrow e^{ln\left(\frac{20x}{1-x}\right)}=e^{\frac{2}{3}}\\
\phantom{f(x)=20}\Leftrightarrow \left(\frac{20x}{1-x}\right)=e^{\frac{2}{3}}\\
\phantom{f(x)=20}\Leftrightarrow (1-x)\left(\frac{20x}{1-x}\right)=(1-x)e^{\frac{2}{3}}\\
\phantom{f(x)=20}\Leftrightarrow 20x=e^{\frac{2}{3}}-x e^{\frac{2}{3}}\\
\phantom{f(x)=20}\Leftrightarrow 20x+x e^{\frac{2}{3}}=e^{\frac{2}{3}}-x e^{\frac{2}{3}}+x e^{\frac{2}{3}}\\
\phantom{f(x)=20}\Leftrightarrow x\left(20+e^{\frac{2}{3}}\right)=e^{\frac{2}{3}}\\
\phantom{f(x)=20}\Leftrightarrow x=\frac{e^{\frac{2}{3}}}{20+e^{\frac{2}{3}}}\\
\phantom{f(x)=20}\Leftrightarrow x=\frac{e^{-\frac{2}{3}}e^{\frac{2}{3}}}{e^{-\frac{2}{3}}\left(20+e^{\frac{2}{3}}\right)}\\
\phantom{f(x)=20}\Leftrightarrow x=\frac{e^{\frac{2}{3}-\frac{2}{3}}}{20e^{-\frac{2}{3}}+e^{-\frac{2}{3}}e^{\frac{2}{3}}}\\
\phantom{f(x)=20}\Leftrightarrow x=\frac{e^{0}}{20e^{-\frac{2}{3}}+e^{\frac{2}{3}-\frac{2}{3}}}\\
\phantom{f(x)=20}\Leftrightarrow x=\frac{1}{20e^{-\frac{2}{3}}+e^{0}}\\
\phantom{f(x)=20}\Leftrightarrow x=\frac{1}{20e^{-\frac{2}{3}}+1}$mathjax$
\phantom{f(x)=20}\Leftrightarrow \frac{30 ln\left(\frac{20x}{1-x}\right)}{30}=\frac{20}{30}\\
\phantom{f(x)=20}\Leftrightarrow ln\left(\frac{20x}{1-x}\right)=\frac{2}{3}\\
\phantom{f(x)=20}\Leftrightarrow e^{ln\left(\frac{20x}{1-x}\right)}=e^{\frac{2}{3}}\\
\phantom{f(x)=20}\Leftrightarrow \left(\frac{20x}{1-x}\right)=e^{\frac{2}{3}}\\
\phantom{f(x)=20}\Leftrightarrow (1-x)\left(\frac{20x}{1-x}\right)=(1-x)e^{\frac{2}{3}}\\
\phantom{f(x)=20}\Leftrightarrow 20x=e^{\frac{2}{3}}-x e^{\frac{2}{3}}\\
\phantom{f(x)=20}\Leftrightarrow 20x+x e^{\frac{2}{3}}=e^{\frac{2}{3}}-x e^{\frac{2}{3}}+x e^{\frac{2}{3}}\\
\phantom{f(x)=20}\Leftrightarrow x\left(20+e^{\frac{2}{3}}\right)=e^{\frac{2}{3}}\\
\phantom{f(x)=20}\Leftrightarrow x=\frac{e^{\frac{2}{3}}}{20+e^{\frac{2}{3}}}\\
\phantom{f(x)=20}\Leftrightarrow x=\frac{e^{-\frac{2}{3}}e^{\frac{2}{3}}}{e^{-\frac{2}{3}}\left(20+e^{\frac{2}{3}}\right)}\\
\phantom{f(x)=20}\Leftrightarrow x=\frac{e^{\frac{2}{3}-\frac{2}{3}}}{20e^{-\frac{2}{3}}+e^{-\frac{2}{3}}e^{\frac{2}{3}}}\\
\phantom{f(x)=20}\Leftrightarrow x=\frac{e^{0}}{20e^{-\frac{2}{3}}+e^{\frac{2}{3}-\frac{2}{3}}}\\
\phantom{f(x)=20}\Leftrightarrow x=\frac{1}{20e^{-\frac{2}{3}}+e^{0}}\\
\phantom{f(x)=20}\Leftrightarrow x=\frac{1}{20e^{-\frac{2}{3}}+1}$mathjax$
De même :
$mathjax$f(x)=120\Leftrightarrow 30 ln\left(\frac{20x}{1-x}\right)=120\\
\phantom{f(x)=120}\Leftrightarrow \frac{30 ln\left(\frac{20x}{1-x}\right)}{30}=\frac{120}{30}\\
\phantom{f(x)=120}\Leftrightarrow ln\left(\frac{20x}{1-x}\right)=4\\
\phantom{f(x)=120}\Leftrightarrow e^{ln\left(\frac{20x}{1-x}\right)}=e^{4}\\
\phantom{f(x)=120}\Leftrightarrow \left(\frac{20x}{1-x}\right)=e^{4}\\
\phantom{f(x)=120}\Leftrightarrow (1-x)\left(\frac{20x}{1-x}\right)=(1-x)e^{4}\\
\phantom{f(x)=120}\Leftrightarrow 20x=e^{4}-x e^{4}\\
\phantom{f(x)=120}\Leftrightarrow 20x+x e^{4}=e^{4}-x e^{4}+x e^{4}\\
\phantom{f(x)=120}\Leftrightarrow x\left(20+e^{4}\right)=e^{4}\\
\phantom{f(x)=120}\Leftrightarrow x=\frac{e^{4}}{20+e^{4}}\\
\phantom{f(x)=120}\Leftrightarrow x=\frac{e^{-4}e^{4}}{e^{-4}\left(20+e^{4}\right)}\\
\phantom{f(x)=120}\Leftrightarrow x=\frac{e^{4-4}}{20e^{-4}+e^{-4}e^{4}}\\
\phantom{f(x)=120}\Leftrightarrow x=\frac{e^{0}}{20e^{-4}+e^{4-4}}\\
\phantom{f(x)=120}\Leftrightarrow x=\frac{1}{20e^{-4}+e^{0}}\\
\phantom{f(x)=120}\Leftrightarrow x=\frac{1}{20e^{-4}+1}$mathjax$
\phantom{f(x)=120}\Leftrightarrow \frac{30 ln\left(\frac{20x}{1-x}\right)}{30}=\frac{120}{30}\\
\phantom{f(x)=120}\Leftrightarrow ln\left(\frac{20x}{1-x}\right)=4\\
\phantom{f(x)=120}\Leftrightarrow e^{ln\left(\frac{20x}{1-x}\right)}=e^{4}\\
\phantom{f(x)=120}\Leftrightarrow \left(\frac{20x}{1-x}\right)=e^{4}\\
\phantom{f(x)=120}\Leftrightarrow (1-x)\left(\frac{20x}{1-x}\right)=(1-x)e^{4}\\
\phantom{f(x)=120}\Leftrightarrow 20x=e^{4}-x e^{4}\\
\phantom{f(x)=120}\Leftrightarrow 20x+x e^{4}=e^{4}-x e^{4}+x e^{4}\\
\phantom{f(x)=120}\Leftrightarrow x\left(20+e^{4}\right)=e^{4}\\
\phantom{f(x)=120}\Leftrightarrow x=\frac{e^{4}}{20+e^{4}}\\
\phantom{f(x)=120}\Leftrightarrow x=\frac{e^{-4}e^{4}}{e^{-4}\left(20+e^{4}\right)}\\
\phantom{f(x)=120}\Leftrightarrow x=\frac{e^{4-4}}{20e^{-4}+e^{-4}e^{4}}\\
\phantom{f(x)=120}\Leftrightarrow x=\frac{e^{0}}{20e^{-4}+e^{4-4}}\\
\phantom{f(x)=120}\Leftrightarrow x=\frac{1}{20e^{-4}+e^{0}}\\
\phantom{f(x)=120}\Leftrightarrow x=\frac{1}{20e^{-4}+1}$mathjax$
La fonction f étant strictement croissante sur
$mathjax$]0\,,\,1[$mathjax$
, $mathjax$\frac{1}{20e^{-\frac{2}{3}}+1}<\frac{1}{20e^{-4}+1}$mathjax$
.Donc
$mathjax$\frac{1}{20e^{-\frac{2}{3}}+1}≤x≤\frac{1}{20e^{-4}+1}$mathjax$
Question B)1)a) :
L'absence de valeur dans la cellule B3 nous suggère que les valeurs présentes sur la ligne 3 dépendent des valeurs de la colonne précédente.
On remarque justement que
$mathjax$\frac{18,05-15,6}{80-70}=\frac{2,45}{10}\\
\phantom{\frac{18,05-15,6}{85-70}}=0,245$mathjax$
\phantom{\frac{18,05-15,6}{85-70}}=0,245$mathjax$
Le nombre dans la cellule D3 correspondant donc à une estimation de la vitesse de croissance annuelle de la hauteur à 80 ans, qui correspond en fait à la vitesse de croissance annuelle moyenne entre 70 et 80 ans.
Question B)1)b) :
La formule à recopier vers la droite dans la cellule C3 est donc : =(C2-B2)/(C1-B1)
Si besoin, va voir si ton modèle en dispose ou comment la rajouter.
Question B)2) :
$mathjax$27cm=0,27m$mathjax$
$mathjax$f(0,27)=30ln\left(\frac{20\times 0,27}{1-0,27}\right)\\
\phantom{f(0,27)}=30ln\left(\frac{5,4}{0,73}\right)\\
\phantom{f(0,27)}\approx 60$mathjax$
\phantom{f(0,27)}=30ln\left(\frac{5,4}{0,73}\right)\\
\phantom{f(0,27)}\approx 60$mathjax$
Un tel épicéa aurait donc autour de 60 ans.
Comme
$mathjax$\frac{50+70}{2}=60$mathjax$
, on peut estimer la hauteur d'un tel épicéa ainsi :$mathjax$\frac{15,6+11,2}{2}=\frac{26,8}{2}\\
\phantom{\frac{15,6+11,2}{2}}=13,4$mathjax$
\phantom{\frac{15,6+11,2}{2}}=13,4$mathjax$
Un tel épicéa ferait 13,4 mètres de hauteur.
Question B)3)a) :
A l'aide de la calculatrice, application calculs ou tableur, complétons le tableau :
| 70 | 80 | 85 | 90 | 95 | 100 | 105 | 110 | 120 | 130 | 150 |
| 15,6 | 18,05 | 19,3 | 20,55 | 21,8 | 23 | 24,2 | 25,4 | 27,8 | 29,65 | 33 |
| 0,22 | 0,245 | 0,25 | 0,25 | 0,25 | 0,24 | 0,24 | 0,24 | 0,24 | 0,185 | 0,1675 |
La quantité de bois produite est maximale lorsque la vitesse de croissance est maximale, c'est-à-dire sur
$mathjax$]85\,,\,95[$mathjax$
.Question B)3)b) :
$mathjax$70cm=0,7m$mathjax$
$mathjax$f(0,7)=30ln\left(\frac{20\times 0,7}{1-0,7}\right)\\
\phantom{f(0,7)}=30ln\left(\frac{14}{0,3}\right)\\
\phantom{f(0,7)}\approx 115,3$mathjax$
\phantom{f(0,7)}=30ln\left(\frac{14}{0,3}\right)\\
\phantom{f(0,7)}\approx 115,3$mathjax$
Un tel épicéa aurait donc dans les 115 ans.
Il est cohérent de le couper à ce moment-là, puisque sa vitesse de croissance et donc de production de bois optimale est alors derrière lui, et sur le point de décroître.
