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Correction exo 1A (algo) BAC S 2018 (Inde)

Correction exo 1A (algo) BAC S 2018 (Inde)

Message non lude critor » 05 Mai 2018, 13:43

Correction exercice n°1 partie A du sujet de Maths du BAC S 2018 en Inde :
https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=2955

Question A-1
:

L'algorithme appelé avec n=4 répond à la question.

Programmons l'algorithme sur notre calculatrice graphique pour obtenir la réponse. Afin de pouvoir en justifier via une pseudo-trace de son exécution, rajoutons une instruction d'affichage de l'état des variables en fin de boucle.


Algorithme
Programme
Code: Tout sélectionner
T←1000
Pour i allant de 1 à n
   T←0,82×T+3,6
   Afficher i et T
Fin Pour
Code: Tout sélectionner
Prompt N
1000→T
For(I,1,N)
   0.82*T+3.6→T
   Disp {I,arrondir(T,0)}
End
T

Code: Tout sélectionner
Prompt N
1000→T
For(I,1,N)
   0.82*T+3.6→T
   Disp {I,round(T,0)}
End
T

Code: Tout sélectionner
Define algo(n)=
Func
   Local i,t
   t:=1000
   For i,1,n
      t:=0.82·t+3.6
      Disp i,round(t,0)
   EndFor
   Return t
EndFunc
Code: Tout sélectionner
?→N
1000→T
For 1→I To N
   0.82×T+3.6→T
   {I,T}◢
Next
T

Code: Tout sélectionner
def algo(n):
   T=1000
   for i in range(1,n+1):
      T=0.82*T+3.6
      print(i,T)
   return T

Code: Tout sélectionner
1000⇒T
For 1⇒i To n
   0.82×T+3.6⇒T
   Print {i,T}
Next
Return T
Code: Tout sélectionner
EXPORT IN2018SO()
BEGIN
   T:=1000;
   FOR I FROM 1 TO N DO
      T:=0.82*T+3.6;
      PRINT({I,ROUND(T,0)});
   END;
   RETURN T;
END;
Code: Tout sélectionner
#cas
def IN2018SOP(n)
   T=1000
   for I in range(1,n+1):
      T=0.82*T+3.6
      print(I,round(T,0))
   return T
#end

Contrairement à un vrai évaluateur Python, la variable
I
doit ici être saisie obligatoirement en majuscule. Sans quoi, la calculatrice la prend pour le nombre complexe.
Code: Tout sélectionner
def algo(n)
   T=1000
   for i in range(1,n+1):
      T=0.82*T+3.6
      print(i,round(T,0))
   return T


Voici une trace d'exécution de l'algorithme :
EtapeiT
Initialisation1000
Pour i=11824
Pour i=22679
Pour i=33560
Pour i=44463

La température du four au bout de 4 heures est donc de 463°C à l'unité près.

Question A-2
:

Montrons par récurrence que
$mathjax$T_n=980\times 0,82^n+20$mathjax$
.
  • Initialisation :
    Pour n=0,
    $mathjax$T_0=1000$mathjax$
    et
    $mathjax$980\times 0,82^0+20=980\times 1+20\\
    \phantom{980\times 0,82^0+20}=980+20\\
    \phantom{980\times 0,82^0+20}=1000$mathjax$

    Donc la propriété est vraie au rang
    n=0
    .
  • Hérédité :
    Supposons que la propriété soit vraie à un certain rang
    n
    , c'est-à-dire que l'on a
    $mathjax$T_n=980\times 0,82^n+20$mathjax$
    .
    Montrons alors que la propriété est alors vraie au rang
    n+1
    , c'est-à-dire que
    $mathjax$T_{n+1}=980\times 0,82^{n+1}+20$mathjax$
    .
    $mathjax$T_{n+1}=0,82\times T_n+3,6 \text{d'après l'algorithme}\\
    \phantom{T_{n+1}}=0,82\times\left(980\times 0,82^n+20\right)+3,6 \text{d'après l'hypothèse}\\
    \phantom{T_{n+1}}=0,82\times 980\times 0,82^n+0,82\times 20+3,6\\
    \phantom{T_{n+1}}=980\times 0,82\times 0,82^n+16,4+3,6\\
    \phantom{T_{n+1}}=980\times 0,82^{n+1}+20$mathjax$
  • Conclusion :
    Donc pour tout entier naturel
    n
    ,
    $mathjax$T_n=980\times 0,82^n+20$mathjax$
    .

Question A-3
:

$mathjax$T_n≤70\Leftrightarrow 980\times 0,82^n+20≤70\\
\phantom{T_n≤70}\Leftrightarrow 980\times 0,82^n+20-20≤70-20\\
\phantom{T_n≤70}\Leftrightarrow 980\times 0,82^n≤50\\
\phantom{T_n≤70}\Leftrightarrow \frac{980\times 0,82^n}{980}≤\frac{50}{980}\\
\phantom{T_n≤70}\Leftrightarrow 0,82^n≤\frac{50}{980}\\
\phantom{T_n≤70}\Leftrightarrow 0,82^n≤\frac{5}{98}\\
\phantom{T_n≤70}\Leftrightarrow ln\left(0,82^n\right)≤ln\left(\frac{5}{98}\right) \text{car la fonction ln est croissante}\\
\phantom{T_n≤70}\Leftrightarrow n\times ln(0,82)≤ln\left(\frac{5}{98}\right)\\
\phantom{T_n≤70}\Leftrightarrow \frac{n\times ln(0,82)}{ln(0,82)}≥\frac{ln\left(\frac{5}{98}\right)}{ln(0,82)} \text{car ln(0,82)<0}\\
\phantom{T_n≤70}\Leftrightarrow n≥\frac{ln\left(\frac{5}{98}\right)}{ln(0,82)}$mathjax$

Or,
$mathjax$\frac{ln\left(\frac{5}{98}\right)}{ln(0,82)}\approx 14,994$mathjax$
.
Donc
$mathjax$n≥15$mathjax$
.
C'est au bout de 15 heures que le four pourra être ouvert sans danger.
On vérifie le résultat en évaluant l'algorithme programmé sur la calculatrice :
  • avec n=14 en vérifiant bien que l'on obtient strictement plus de 70°C
  • puis n=15 en vérifiant bien que l'on obtient moins de 70°C
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