Etudions aujourd'hui ensemble l'algorithme tombé au BAC ES/L 2014 au Liban.
Il s'agit de l'exercice 3:
Question 1-a :$mathjax$a_1=0,8\times a_0+400=0,8\times 2500+400=2000+400=2400$mathjax$
$mathjax$a_2=0,8\times a_1+400=0,8\times 2400+400=1920+400=2320$mathjax$
Question 1-b :L'année 2013+n il y a a
n adhérents.
L'année 2013+n+1 suivante, il y aura:
Donc pour tout entier naturel n,
$mathjax$a_{n+1}=0,8a_n+400$mathjax$
Question 2-a :$mathjax$v_0=a_0-2000=2500-2000=500$mathjax$
Pour tout entier naturel n,
$mathjax$\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{a_{n+1}-2000}{a_n-2000}=\frac{0,8a_n+400-2000}{a_n-2000}=\frac{0,8a_n-1600}{a_n-2000}=\frac{0,8\left(a_n-2000\right)}{a_n-2000}=0,8$mathjax$
Donc (u
n) est une suite géométrique de premier terme v
0=500 et de raison 0,8.
Question 2-b :Donc pour tout entier naturel n,
$mathjax$v_n=v_0\times 0,8^n=500\times 0,8^n$mathjax$
Donc
$mathjax$v_n=a_n-2000\Leftrightarrow v_n+2000=a_n\Leftrightarrow a_n=500\times 0,8^n+2000$mathjax$
Question 2-c :$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}0,8^n=0$mathjax$
car -1<0,8<1.
Donc
$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}500\times 0,8^n=0$mathjax$
et
$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}a_n=2000$mathjax$
Question 2-d :On en déduit donc qu'au bout d'un grand nombre d'années le nombre d'adhérents tendra vers 2000.
Question 3-a :L'algorithme donné s'articule autour d'une boucle 'tant que' de condition de poursuite A-2000>50, et s'achève donc sur la réalisation de la condition contraire A-2000≤50.
De plus l'algorithme renvoie alors la valeur de N.
L'algorithme recherche donc la valeur N telle que A-2000≤50.
Reste à comprendre ce que représentent ces variables:
- La variable A est initialisée à 0 et affectée par réccurrence dans la boucle avec 0,8A+400, ce qui correspond à la définition par récurrence de la suite (an). La variable A prend donc les valeurs des termes de la suite (an).
- La variable N initialisée à 0 et incrémentée de 1 dans la boucle est alors l'indice associé à la valeur A.
Donc l'algorithme recherche l'indice n du premier terme a
n vérifiant a
n-2000≤50, soit encore a
n≤2050.
Question 3-b :Pour savoir ce que répond l'algorithme programmons-le sur notre calculatrice graphique.
Voici des traductions de l'algorithme pour TI-76/82/83/84, TI-Nspire, HP-39gII/Prime, Casio Prizm/fx-CG et Casio Classpad/fx-CP:
Toutes les calculatrices répondent donc à l'unisson.Réponse: 11
C'est donc en 2013+11=2024 qu'il y aura moins de 2050 adhérents.
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