CHAP. 1
4 Espaces vectoriels normés de dimension finie

PRÉ NA : Non Acquis, MA : Moyennement Acquis, A : Acquis NA MA A
REQUIS
P1. Nombres réels : intervalle, partie bornée ou majorée ou minorée, borne supérieure ou
inférieure
P2. Suites réelles ou complexes : limite, suite convergente, suite bornée, suite extraite
P3. Fonction à valeurs réelles ou complexes : limite, continuité en un point ou sur une partie,
caractérisation séquentielle, composition de limites
P4. Algèbre linéaire : espace vectoriel de dimension finie, application linéaire, matrices, poly-
nômes

NA : Non Acquis, MA : Moyennement Acquis, A : Acquis NA MA A
RS
U
CO




C1. Norme et distance associée. Exemples sur Kp
C2. Boules et convexité : définitions, propriétés, exemples. Montrer qu’une boule est une par-
tie convexe ou qu’une boule ouverte est un ouvert ou qu’une boule fermée est un fermé.
C3. Suite convergente d’un e.v.n. Propriétés. Caractérisation à l’aide des suites coordonnées
en dimension finie
C4. Point intérieur. Ouvert d’un e.v.n. Propriétés
C5. Point adhérent. Fermé. Caractérisations séquentielles
C6. Limite d’une application entre 2 espaces vectoriels normés en un vecteur adhérent. Conti-
nuité. Caractérisation séquentielle. Caractérisation à l’aide des applications coordonnées dans
une base
C7. Ouvert et fermé définis comme images réciproques par une fonction à valeurs réelles.
Fonction continue sur une partie fermée et bornée
C8. Fonction lipschitzienne. Lien avec la continuité. Cas des applications linéaires en dimen-
sion finie (démonstration)
C9. Application multilinéaire sur un produit d’espaces vectoriels de dimensions finies. Régu-
larité. Fonction polynomiale sur Kp : définition et régularité.

MÉTH NA : Non Acquis, MA : Moyennement Acquis, A : Acquis NA MA A
ODES
M1. Démontrer qu’une application est une norme
M2. Montrer qu’une partie est un ouvert ou un fermé
M3. Déterminer la nature d’une suite vectorielle
M4. Montrer qu’une application est continue
M5. Utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité
M6. Utiliser la continuité d’une application linéaire, ou multilinéaire ou polynomiale sur Kp
en dimension finie

E désigne un K-espace vectoriel de dimension finie.
I Norme et distance
1. Norme
Définition 1
ä Une norme sur E est une application notée || || : E −→ R+ telle que :
x 7−→ ||x||
(a) ∀ x ∈ E , ||x|| = 0 =⇒ x = 0E (séparation)
(b) ∀ x ∈ E , ∀ λ ∈ K , ||λx|| = |λ| ||x|| (homogénéité)
¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯ ¯
(c) ∀ x, y ∈ E , ¯¯x + y ¯¯ É ||x|| + ¯¯ y ¯¯ (inégalité triangulaire)
ä Un espace vectoriel muni d’une norme est alors appelé un espace vectoriel normé .




PSI 2016 - 2017 4. Espaces vectoriels normés de dimension finie
Exemples : 2
1. R muni de la valeur absolue, et C muni du module sont des espaces vectoriels normés .
2. La norme euclidienne associée à un produit scalaire est une norme.
3. Soit p ∈ N∗ et considérons E = Kp :
(a) l’application || ||1 : Kp −→ R+ est une norme sur Kp
p
X
x = (x 1 , x 2 , . . . , x p ) 7−→ ||x||1 = |x k |
k=1
(b) l’application || ||2 : Kp −→ R+ est une norme sur Kp , appelé
à !1
p 2

|x k |2
X
x = (x 1 , x 2 , . . . , x p ) 7−→ ||x||2 =
k=1
norme euclidienne lorsque K = R
(c) l’application || ||∞ : Kp −→ R+ © ª est une norme sur K
p

x = (x 1 , x 2 , . . . , x p ) 7−→ ||x||∞ = max |x k | , k ∈ ‚1, pƒ
4. Sur E = C 0 ([a, b] , K)
(a) l’application || ||1 : E −→ R+ est une norme sur E
¯¯ ¯¯
Z b¯ ¯
f 7−→ ¯ ¯ f 1=
¯ ¯ ¯ f (t )¯ dt
a
+
(b) l’application || ||2 : E −→ R est une norme sur E
s
Z b¯
¯ f (t )¯2 dt
¯¯ ¯¯ ¯
f 7−→ ¯¯ f ¯¯2 =
a
+
(c) l’application || ||∞ : E −→ R ¯¯ ¯¯ ©¯ ¯ ª est une norme sur E
f 7−→ ¯¯ f ¯¯∞ = sup ¯ f (t )¯ , t ∈ [a, b]
n
Ï Exercice 1 : Ch Posons E = Kn [X] pour n ∈ N∗ . Montrer que pour tout P = ak Xk ∈ E ,
X

s k=0
n n
|a k |2 et ||P||∞ = max {|a k | , k ∈ ‚0, nƒ} définissent 3 normes sur E.
X X
||P||1 = |a k |, ||P||2 =
k=0 k=0

Ch Posons E = Mn,p (K). Montrer que pour A = (ai j )i , j ∈ E, ||A||1 =
X¯ ¯
Ï Exercice 2 : ¯ a i j ¯,
i,j
( )
q
©¯ ¯ ª Xn ¯ ¯
||A||2 = Tr ( t AA), ||A||∞ = max ¯a i j ¯ , (i , j ) ∈ ‚1, nƒ × ‚1, pƒ , ||A||C = max ¯a i j ¯ , j ∈ ‚1, pƒ et
( ) i =1
Xp ¯ ¯
||A||L = max ¯a i j ¯ , i ∈ ‚1, nƒ définissent des normes sur E .
j =1


Définition 2 Soient (E, || ||) un espace vectoriel normé et x ∈ E. x est dit unitaire si ||x|| = 1.

Propriétés 1 Soit (E, || ||) un espace vectoriel normé .
¯ ¯ ¯ ¯¯¯ ¯¯ ¯¯
1. Inégalité triangulaire renversée : ∀ x, y ∈ E , ¯||x|| − ¯¯ y ¯¯¯ É ¯¯x ± y ¯¯
¯¯ ¯¯
n
¯¯ X ¯¯ X n
2. ∀ x 1 , x 2 , . . . , x n ∈ E, ∀ λ1 , λ2 ...