CHAP. 1
3 Espaces préhilbertiens réels
PRÉ NA : Non Acquis, MA : Moyennement Acquis, A : Acquis NA MA A
REQUIS
P1. Espace vectoriel : famille libre, base, sous-espace vectoriel (intersection, somme)
P2. Matrice : transposition, trace, matrice d’un vecteur dans une base
P3. Forme linéaire et hyperplan
P4. Polynômes : un polynôme admettant strictement plus de racines que son degré (comptées
avec leur ordre de multiplicité) est le polynôme nul
P5. Intégration : linéarité, positivité, une fonction continue, de signe constant et d’intégrale
nulle sur [a, b] est la fonction nulle sur [a, b]
NA : Non Acquis, MA : Moyennement Acquis, A : Acquis NA MA A
RS
U
CO




C1. Produit scalaire : définition et exemples de référence, définitions d’espace préhilbertien
réel et d’espace euclidien
C2. Norme associée à un produit scalaire. Inégalité de Cauchy-Schwarz ; inégalité triangulaire
et cas d’égalités. Identités de polarisation.
C3. Vecteurs et sous-espaces vectoriels orthogonaux. Propriétés. Famille orthogonale et or-
thonormale. Condition nécessaire pour une famille orthogonale de vecteurs non nuls.
C4. Orthogonal d’un sous-espace vectoriel. Propriétés.
C5. Base orthonormale : définition, coordonnées et norme d’un vecteur, expression du pro-
duit scalaire, matrice d’un endomorphisme.
C6. Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie : définition, ca-
ractérisation, expression à l’aide d’une base orthonormée. Inégalité de Bessel
C7. Distance à un sous-espace vectoriel de dimension finie.
C8. Représentation d’une forme linéaire sur un espace euclidien. Vecteurs normaux
MÉTH NA : Non Acquis, MA : Moyennement Acquis, A : Acquis NA MA A
ODES ¯¯ ¯¯ 2
M1. Obtenir une identité de polarisation à l’aide de ¯¯x ± y ¯¯
M2. Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt
M3. Obtenir une base orthonormale d’un sous-espace vectoriel de dimension finie
M4. Déterminer la projection orthogonale d’un vecteur sur un sous-espace vectoriel
M5. Calculer la distance d’un vecteur à un sous-espace vectoriel de dimension finie
M6. Distance à une droite ou un hyperplan
E désigne un R-espace vectoriel.

23/09 I Produit scalaire et norme associée
1. Produit scalaire
Définition 1
ä Un produit scalaire défini sur E est une application notée par exemple 〈 , 〉 : E × E −→ R ­ ® qui
(x, y) 7−→ x, y
est une forme :
(a) bilinéaire : ∀ x, x 0 , y, y 0 ∈ E, ∀ λ ∈ R :
0
® ­ 0 ®
λx λ
½ ­ ® ­
er
+ x , y = x, y ® + ­x , y0 ® (linéarité par rapport au 1 vecteur)
0
x, λy + y = λ x, y + x, y (linéarité par rapport au 2e vecteur)
­ ® ­
­ ® ­ ®
(b) symétrique : ∀ x, y ∈ E , x, y = y, x
(c) définie : ∀ x ∈ E : 〈x, x〉 = 0 =⇒ x = 0E
(d) positive : ∀ x ∈ E : 〈x, x〉 Ê 0
ä Un espace préhilbertien réel est un R-espace vectoriel muni d’un produit scalaire.
ä Un espace euclidien est un espace préhilbertien réel de dimension finie.




PSI 2016 - 2017 3. Espaces préhilbertiens réels
  Rq : 2

1. En pratique, on montre la linéarité par rapport au 1er vecteur, puis le caractère symétrique : on peut
alors en déduire la linéarité par rapport au 2e vecteur.
2. On rencontre également les notations (x|y) ou x · y.

Exemples de référence :
n
1. E = Rn , (x 1 , . . . , x n ), (y 1 , . . . , y n ) = x k y k , dit produit scalaire euclidien canonique sur Rn .
­ ® X
k=1
t
2. E = Mn,1 (R), 〈X, Y〉 = XY, dit produit scalaire canonique sur Mn,1 (R).
3. E = Mn (R), 〈A, B〉 = Tr ( t AB), dit produit scalaire canonique sur Mn (R).
Z b
0
4. E = C ([a, b] , R), f , g =
­ ®
f (t )g (t ) dt
a
Exemples :
+∞ +∞
1. Sur E = R[X] : pour P = a k X k et Q = b k X k où (a k )k et (b k )k sont des suites nulles à partir d’un
X X
k=0 k=0
certain rang. Découlent des exemples de référence, 2 produits scalaires différents sur R[X] :
+∞
X
(a) 〈P, Q〉 = ak bk
k=0
Z b
(b) 〈P, Q〉 = P(t )Q(t ) dt où a, b ∈ R avec a < b.
a
2. Si ω est une fonction continue à valeurs strictement positives sur un segment [a, b],
Z b
0
pour tout f , g ∈ C ([a, b] , R), f , g =
­ ®
f (t )g (t )ω(t ) dt
a
2. Norme associée à un produit scalaire

Définition 2 Soit (E, 〈 , 〉) un espace préhilbertien réel.
1. Pour un produit scalaire, sa norme (euclidienne) associéep est définie ∀ x ∈ E, par :
||x|| = 〈x, x〉
2. Un vecteur x ∈ E est dit unitaire si : ||x|| = 1.


Propriétés 1 ∀ x, y ∈ E , ∀ λ ∈ R :
1. ||x|| Ê 0 et ||x|| = 0 ⇐⇒ x = 0E
2. ||λx|| = |λ| x
Théorème 1 Inégalité de Cauchy-Schwarz
Pour tout x, y ∈ E : ¯­ ®¯ ¯¯ ¯¯
¯ x, y ¯ É ||x|| × ¯¯ y ¯¯
¯­ ®¯ ¯¯ ¯¯
¯ x, y ¯ = ||x|| × ¯¯ y ¯¯ ⇐⇒ la famille (x, y) est liée.

Z 1p
27/09 Application : majorer xe −x dx.
0

Théorème 2 Inégalité triangulaire (ou de Minkowski)
Pour tout x, y ∈ E : ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯
¯¯x + y ¯¯ É ||x|| + ¯¯ y ¯¯

¯¯x + y ¯¯ = ||x|| + ¯¯ y ¯¯ ⇐⇒ ∃ λ ∈ R+ , x = λy ou y = λx
¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯




PSI 2016 - 2017 3. Espaces préhilbertiens réels
Application géométrique : 3
−
→
1. On suppose l’espace P des vecteurs du plan muni du produit scalaire usuel défini par :
­→
−
u ,→
−
v = ¯¯ → −
u ¯¯ ¯ ¯ →−
v ¯¯ cos(( →
−
u ,→
−
® ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
v )).
−
→
Soient R un repère de P , A ∈ P , → −n ∈ P et D la droite passant par A et de vecteur normal →
−
n :
−−→ − −−→ −
M...