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Chapitre 4

Techniques d’analyse (dérivation)

Sommaire
4.1 Propriétés de la relation d’ordre dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.1 Existence d’une relation d’ordre total sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.2 Relation d’ordre et opérations dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.1.3 Valeur absolue, inégalité triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.4 Intervalles de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.5 Parties majorées, minorées, bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.6 Borne supérieure et borne inférieure dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1.7 Partie entière d’un nombre réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1.8 Densité de Q et de R Q dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.1.9 Droite achevée R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2 Puissances à exposants entiers ou rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.1 Exposants entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.2 Racine n-ième d’un réel positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2.3 Exposants rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3 Généralités sur les fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.1 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3.2 Opérations sur les fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3.3 Fonctions paires ou impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3.4 Axes et centres de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.5 Applications périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.6 Monotonie des fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3.7 Fonctions majorées, minorées, bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4 Dérivation des fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.4.1 Notion de fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.4.2 Équation de la tangente en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.4.3 Opérations sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.4.4 Dérivabilité et sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4.5 Dérivation de la bijection réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4.6 Dérivée seconde, concavité, inflexions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4.7 Dérivées d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.5.1 Exponentielle, logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.5.2 Fonctions exponentielles de base quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.1 Propriétés de la relation d’ordre dans R Chapitre 4 : Techniques d’analyse (dérivation)


4.5.3 Fonctions puissances x 7→ xα , avec α réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.5.4 Dérivée logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.5.5 Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.5.6 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.5.7 Trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.6 Études de fonctions, inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.6.1 Plan d’étude d’une fonction numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.6.2 Dérivabilité sur le domaine de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.6.3 Réduction du domaine d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.6.4 Tableau des variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.6.5 Études locales et tracé du graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.6.6 Quelques inégalités utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120




4.1 Propriétés de la relation d’ordre dans R

4.1.1 Existence d’une relation d’ordre total sur R

Proposition 4.1.1 (propriétés de la relation d’ordre sur R)
L’ensemble R est muni d’une relation d’ordre notée 6, et vérifiant les propriétés :
– ordre total : pour tous x, y de R, on a : x 6 y ou y 6 x.
– compatibilité avec l’addition : ∀ (x, y, z) ∈ R3 , x 6 y ⇒ x + z 6 y + z.
– compatibilité avec le produit par un réel positif : ∀ (x, y, z) ∈ R3 , (x 6 y et 0 6 z) ⇒ xz 6 yz.


Relation d’ordre contraire, inégalités strictes
– On a bien sûr la relation d’ordre contraire de la précédente, définie par x > y (qui équivaut à y 6 x).
On utilise plus souvent 6 que > dans les calculs, mais essentiellement 6 dans les définitions et
propriétés (sachant qu’à toute propriété relative à 6 correspondant une propriété relative à >).

x < y équivaut à (x 6 y et x 6= y)

– On définit les inégalités strictes :
x > y équivaut à y < x


On rappelle que les relations < et > ne définissent pas à proprement parler des relations d’ordre, car
elles ne sont pas réflexives : on n’a en effet pas l’inégalité x < x.

Cas des ensembles N, Z et Q
On peut restreindre la relation d’ordre de R à chacun des ensembles N, Z, ou Q (et considérer alors
qu’il s’agit d’une relation d’ordre total sur chacun de ces trois ensembles).
Pour ce qui est de N et Z, on dispose de propriétés importantes :
– Toute partie non vide de N possède un élément minimum (en particulier 0 est le minimum de N).
– Toute partie minorée non vide de Z possède un élément minimum.
– Toute partie non vide majorée de N, ou de Z, possède un élément maximum.
– Si x et y sont dans Z, on a l’équivalence : x 6 y ⇔ (∃ n ∈ N, y = x + n).
Les propriétés précédentes sont fausses pour l’ensemble Q.

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© Jean-Michel Ferrard
4.1 Propriétés de la relation d’ordre dans R Chapitre 4 : Techniques d’analyse (dérivation)


Définition 4.1.1 (notations R+∗ , R−∗ etc.)
On pose R+∗ = {x ∈ R, x > 0} et R+ = R+∗ ∪ {0} = {x ∈ R, x > 0}.
On définit de même les ensembles Z+∗ , Z+ , Q+∗ , et Q+ .
On pose R−∗ = {x ∈ R, x < 0} et R− = R−∗ ∪ {0} = {x ∈ R, x 6 0}.
On définit de même les ensembles Z−∗ , Z− , Q−∗ , et Q− .


Ne pas généraliser aux nombres complexes !
Soit x un réel : si x > 0 alors x2 > 0 (comptabilité pour le produit par un réel positif).
Mais si x 6 0, alors −x > 0 et là encore on a (−x)2 > 0 c’est-à-dire x2 > 0.
Retenons donc que pour tout x réel, on a x2 > 0 (et bien sûr x2 > 0 pour tout réel x non nul).
De cette remarque très simple, il découle qu’il n’existe pas de relation d’ordre dans C qui puisse étendre
celle de R (en gardant notamment la comptabilité pour le produit par un nombre positif). En effet, si
tel était le cas, on trouverait i2 > 0, c’est-à-dire −1 > 0.
Il existe des relations d’ordre total sur C, mais qui ...