Nombres complexes
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Auteur Author: alex67610
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Mis en ligne Uploaded: 10/10/2012 - 16:17:48
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Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a7920
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Fichier Nspire généré sur TI-Planet.org.
Compatible OS 3.0 et ultérieurs.
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Nombres complexes 1. Présentation des nombres complexes : 1.1 Le plan complexe : Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O, , ). Soient A(1;0) et B(0;1). Au point A on associe le nombre réel 1, au point B on associe un nombre dit imaginaire et noté / . A tout point M du plan, de coordonnées cartésiennes ( x M ; y M ), on associe un unique nombre, appelé nombre complexe, noté z M et défini par : z M = x M + / y M On dit que M est l'image du nombre complexe z M et que z M est l'affixe du point M. 1.2 Le corps des complexes L'ensemble des nombres complexes noté . Il contient et vérifie les propriétés suivantes : ’ est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de . ’Il existe un élément / de tel que / 2 = -1. ’Tout élement z de s'écrit de manière unique : z = x + /.y avec x, y , cette écriture est appelée forme algébrique . Remarques : ’x s'appelle partie réelle de z notée Re(z) et y partie imaginaire notée Im(z) ( attention, y est un réel ). ’Ce dernier point entraîne que : dexu nombres complexes sont égaux ssi ils ont la même partie réelle et la même partie imagine. ’Si x=0, le nombre complexe est appelé imaginaire pur , si y=0, il s'agit d'un réel . ’Tout élement z de sauf 0 possède un inverse, c'est à dire qu'il existe z' tel que z.z' = 1 . 2. Opérations dans le corps des complexes 2.1 Addition et multiplication Soient z=x+iy et z'=x'+iy' ’z+z' = x+x'+i(y+y') ’z.z' = x.x'-y.y'+i(x.y'+x'.y) 2.2 Module, argument et conjugué d'un nombre complexe Définition : Soit M un point d'affixe z avec z=x+iy du plan complexe orienté. ’On appelle module de et on note |z| la longueur OM. ’On appelle argument de z et on note arg(z) l'angle orienté O( , ). ’On appelle conjugué de z et on note le nombre complexe x-iy. Remarques : ’ ’cos(´) = x/|z| et sin(´)= y/|z| Propriété : Soient z et w deux nombres complexes : ’ ’ ’ ’ ’z+ =2Re(z) et z- =2iIm(z) ’Im(z)=0 ÐÒ z= ’z est imaginaire pur ÐÒ =-z Remarque : pour mettre un quotient sous forme algébrique, utiliser la technique de l'expression conjuguée (multiplier le dénominateur par son conjugué ). 3. Equations du deuxième degré Théorème : L'équation ax 2 +bx+c=0 (a,b et c réels, a`0) admet toujours des solutions sur . Soit ”=b 2 -4ac le discriminant de l'équation. ’si ”=0, une unique solution x 0 = (-b)/2a ’si ”>0, deux solutions réelles : x 1 = (-b-”)/2a et x 2 = (-b+”)/2a ’si ”<0, deux solutions complexes conjuguées : z 1 = (-b-/-”)/2a et z 2 = (-b+/-”)/2a
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Nombres complexes 1. Présentation des nombres complexes : 1.1 Le plan complexe : Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O, , ). Soient A(1;0) et B(0;1). Au point A on associe le nombre réel 1, au point B on associe un nombre dit imaginaire et noté / . A tout point M du plan, de coordonnées cartésiennes ( x M ; y M ), on associe un unique nombre, appelé nombre complexe, noté z M et défini par : z M = x M + / y M On dit que M est l'image du nombre complexe z M et que z M est l'affixe du point M. 1.2 Le corps des complexes L'ensemble des nombres complexes noté . Il contient et vérifie les propriétés suivantes : ’ est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de . ’Il existe un élément / de tel que / 2 = -1. ’Tout élement z de s'écrit de manière unique : z = x + /.y avec x, y , cette écriture est appelée forme algébrique . Remarques : ’x s'appelle partie réelle de z notée Re(z) et y partie imaginaire notée Im(z) ( attention, y est un réel ). ’Ce dernier point entraîne que : dexu nombres complexes sont égaux ssi ils ont la même partie réelle et la même partie imagine. ’Si x=0, le nombre complexe est appelé imaginaire pur , si y=0, il s'agit d'un réel . ’Tout élement z de sauf 0 possède un inverse, c'est à dire qu'il existe z' tel que z.z' = 1 . 2. Opérations dans le corps des complexes 2.1 Addition et multiplication Soient z=x+iy et z'=x'+iy' ’z+z' = x+x'+i(y+y') ’z.z' = x.x'-y.y'+i(x.y'+x'.y) 2.2 Module, argument et conjugué d'un nombre complexe Définition : Soit M un point d'affixe z avec z=x+iy du plan complexe orienté. ’On appelle module de et on note |z| la longueur OM. ’On appelle argument de z et on note arg(z) l'angle orienté O( , ). ’On appelle conjugué de z et on note le nombre complexe x-iy. Remarques : ’ ’cos(´) = x/|z| et sin(´)= y/|z| Propriété : Soient z et w deux nombres complexes : ’ ’ ’ ’ ’z+ =2Re(z) et z- =2iIm(z) ’Im(z)=0 ÐÒ z= ’z est imaginaire pur ÐÒ =-z Remarque : pour mettre un quotient sous forme algébrique, utiliser la technique de l'expression conjuguée (multiplier le dénominateur par son conjugué ). 3. Equations du deuxième degré Théorème : L'équation ax 2 +bx+c=0 (a,b et c réels, a`0) admet toujours des solutions sur . Soit ”=b 2 -4ac le discriminant de l'équation. ’si ”=0, une unique solution x 0 = (-b)/2a ’si ”>0, deux solutions réelles : x 1 = (-b-”)/2a et x 2 = (-b+”)/2a ’si ”<0, deux solutions complexes conjuguées : z 1 = (-b-/-”)/2a et z 2 = (-b+/-”)/2a
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