Chap1 Maths Suites
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Catégories :Categories: Cours et Formulaires TI-82+/83+/84, Cours et Formulaires TI-76/82Stats/83, Cours et Formulaires TI-82
Auteur Author: The K
Type : Texte nécessitant un lecteur
Page(s) : 1
Taille Size: 2.27 Ko KB
Mis en ligne Uploaded: 30/09/2012 - 17:04:03
Mis à jour Updated: 30/09/2012 - 17:13:31
Uploadeur Uploader: The K (Profil)
Téléchargements Downloads: 904
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a7237
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Visibilité Visibility: Archive publique
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Description
Fichier TxtView généré sur TI-Planet.org.
Compatible TI-73/76/82/83/84.
Nécessite l'intallation d'un kernel/shell compatible et du programme TxtView approprié.
<<
Suites
I.Rappels
Suites arithmétiques :
U(n+1) = U(n) + r
U(n) = U(0) + nr
S(n) = ( (nombre de termes) (premier+dernier terme) ) / 2
Suites géométriques :
U(n+1) = U(n) * q
U(n) = U(0) * q^n
S(n) = (premier terme) * ( (1 - q^nombre de termes) / (1 - q) )
II.Raisonnement par récurrences
On veut démontrer une propriété dépendant de n : P(n).
Il y a 3 points :
> initialisation : on vérifie que la propriété est vraie pour n=0 (parfois le début est à 1) ; une seule vérification
> hérédité : (Si P(n) est vraie alors P(n+1) vraie )
Technique : on dit "j'admets la propriété au rang n" (hypothèse de récurrence) et en l'utilisant je vais démontrer que P(n+1) est vraie
> conclusion : donc si n >= 0, (P(n)) est vraie
Rq : une propriété peut etre fausse alors que l'hérédité est vraie
III.Limite d'une suite
1.Limites usuelles
Def : (Un) admet une limite l se note lim (n->+oo) Un = l ; si pour tout intervalle ouvert I contenant l il existe N tel que si n>N ; Un appartient a I
On dit que la suite converge vers l
Limites infinies : lim (n->+oo) Un = +oo si pour tout A, il existe N tel que si n>N, Un>A
Limites usuelles : lim n = +oo ; lim 1/n = 0 ; ...
Démo : lim n² = +oo
Pour A>0, je cherche N tel que si n>N, n²>A. Je peux choisir N>=Rac(A)
Propriété : si une suite admet une limite elle est unique
Opérations : on peut globalement conclure une limite sauf pour :
Somme de suites : limUn et limVn = +oo et -oo
Produit : limUn et limVn = 0 et +/- oo
Quotient : limUn et limVn = 0 et 0 ou deux infinis
Pour solutionner ces problèmes, on peut factoriser l'opération.
2.Comparaisons
Propriétés :
>Si pour n>=n0 on a Un>=Vn et limVn = +oo alors limUn = +oo
>Si pour n>=n0 on a Vn>=Un et limVn = -oo alors limUn = -oo
Propriété des gendarmes : Si n>=n0 on a Vn=<Un=Wn et limVn = limWn = l alors limUn = l
Application : Cas de q^n
Si q>1 : limQ^n = +oo
Si -1<q<1 : limQ^n = 0
Si q=1 : limQ^n = 1
Sinon "pas de limite"
3.Théorème fondamental de R (admis)
Enoncé : une suite croissante et majorée converge ; et une suite décroissance et minorée converge également
Remarque : pour les suites U(n+1) = f(Un), les seules limites finies possibles sont solutions de f(x) = x
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Compatible TI-73/76/82/83/84.
Nécessite l'intallation d'un kernel/shell compatible et du programme TxtView approprié.
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Suites
I.Rappels
Suites arithmétiques :
U(n+1) = U(n) + r
U(n) = U(0) + nr
S(n) = ( (nombre de termes) (premier+dernier terme) ) / 2
Suites géométriques :
U(n+1) = U(n) * q
U(n) = U(0) * q^n
S(n) = (premier terme) * ( (1 - q^nombre de termes) / (1 - q) )
II.Raisonnement par récurrences
On veut démontrer une propriété dépendant de n : P(n).
Il y a 3 points :
> initialisation : on vérifie que la propriété est vraie pour n=0 (parfois le début est à 1) ; une seule vérification
> hérédité : (Si P(n) est vraie alors P(n+1) vraie )
Technique : on dit "j'admets la propriété au rang n" (hypothèse de récurrence) et en l'utilisant je vais démontrer que P(n+1) est vraie
> conclusion : donc si n >= 0, (P(n)) est vraie
Rq : une propriété peut etre fausse alors que l'hérédité est vraie
III.Limite d'une suite
1.Limites usuelles
Def : (Un) admet une limite l se note lim (n->+oo) Un = l ; si pour tout intervalle ouvert I contenant l il existe N tel que si n>N ; Un appartient a I
On dit que la suite converge vers l
Limites infinies : lim (n->+oo) Un = +oo si pour tout A, il existe N tel que si n>N, Un>A
Limites usuelles : lim n = +oo ; lim 1/n = 0 ; ...
Démo : lim n² = +oo
Pour A>0, je cherche N tel que si n>N, n²>A. Je peux choisir N>=Rac(A)
Propriété : si une suite admet une limite elle est unique
Opérations : on peut globalement conclure une limite sauf pour :
Somme de suites : limUn et limVn = +oo et -oo
Produit : limUn et limVn = 0 et +/- oo
Quotient : limUn et limVn = 0 et 0 ou deux infinis
Pour solutionner ces problèmes, on peut factoriser l'opération.
2.Comparaisons
Propriétés :
>Si pour n>=n0 on a Un>=Vn et limVn = +oo alors limUn = +oo
>Si pour n>=n0 on a Vn>=Un et limVn = -oo alors limUn = -oo
Propriété des gendarmes : Si n>=n0 on a Vn=<Un=Wn et limVn = limWn = l alors limUn = l
Application : Cas de q^n
Si q>1 : limQ^n = +oo
Si -1<q<1 : limQ^n = 0
Si q=1 : limQ^n = 1
Sinon "pas de limite"
3.Théorème fondamental de R (admis)
Enoncé : une suite croissante et majorée converge ; et une suite décroissance et minorée converge également
Remarque : pour les suites U(n+1) = f(Un), les seules limites finies possibles sont solutions de f(x) = x
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