PSI Les Ulis Cours CI8 – DYNAMIQUE DES SYSTEMES


Dynamique des systèmes de solides

Objectif final :

En présence d’un système technique industriel composé de solides rigides en mouvement
relatif sous l’action d’efforts extérieurs, vous devrez être capable de :

• Relier les quantités cinématiques (effets) aux actions mécaniques (causes)
o Principe fondamental de la dynamique
o Théorème de l’énergie cinétique

• Résoudre des problèmes de 3 types :
o Systèmes à cinématique imposée
Rechercher les actions mécaniques
(Exemple : couple de démarrage d’un moteur)
o Systèmes à cinématique libre et actions mécaniques connues
Rechercher les lois de mouvement
(Exemple : détermination de l’accélération limite entraînant une perte
d’adhérence d’un véhicule)
o Systèmes à inconnues mixtes (cinématique et actions mécaniques)

Plan :
I SYSTEME MATERIEL A MASSE CONSERVATIVE ..................................................................................... 2
I.1 SYSTEME MATERIEL .............................................................................................................................................. 2
I.2 CONSERVATION DE LA MASSE ............................................................................................................................... 2
II CENTRE D’INERTIE ............................................................................................................................................ 3
II.1 DEFINITION ...................................................................................................................................................... 3
II.2 PROPRIETES ...................................................................................................................................................... 3
III TORSEUR CINETIQUE / DYNAMIQUE D’UN SYSTEME MATERIEL ...................................................... 4
III.1 TORSEUR CINETIQUE ........................................................................................................................................ 4
III.2 TORSEUR DYNAMIQUE ...................................................................................................................................... 4
III.3 RELATION ENTRE LE MOMENT DYNAMIQUE ET LE MOMENT CINETIQUE ............................................................ 5
IV PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE ....................................................................................... 6
IV.1 ENONCE............................................................................................................................................................ 6
IV.2 THEOREMES GENERAUX DE LA DYNAMIQUE ..................................................................................................... 6
IV.2.1 Théorème de la résultante dynamique ........................................................................................................ 6
IV.2.2 Théorème du moment dynamique ............................................................................................................... 6
IV.3 THEOREME DES ACTIONS RECIPROQUES ........................................................................................................... 7
IV.4 PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE ...................................................................................................... 7
V CINETIQUE DES SOLIDES INDEFORMABLES ............................................................................................. 7
V.1 SOLIDE AU SENS DE LA CINETIQUE/DYNAMIQUE ............................................................................................... 7
V.2 CALCUL PRATIQUE DU MOMENT CINETIQUE POUR UN SOLIDE S........................................................................ 7
V.3 CALCUL PRATIQUE DU MOMENT DYNAMIQUE POUR UN SOLIDE S ..................................................................... 8




Sciences Industrielles pour l’Ingénieur - Page 1 -
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I SYSTEME MATERIEL A MASSE CONSERVATIVE
I.1 Système matériel
Un système matériel est constitué d’un ensemble de points P chacun de masse
élémentaire dm(P ) .
dm( P ) = µ ( P ) dv avec µ (P) : masse volumique en P
dv : élément de volume
m (Σ ) = ∫ dm( P ) = ∫ ∫ ∫ µ ( P ) dx dy dz Point P
P∈Σ z y x
Système Σ,
Masse MΣ
La masse est définie positive et est additive.
µ(P)dv
dm(P)=µ

m(Σ1 ∪ Σ 2 ) = m(Σ1 ) + m(Σ 2 )

L’unité de masse est le kg.

Expression du volume élémentaire :
Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques




dv = dr . r . dθ . dz = r . dr . dθ . dz dv = dr . r .sin ϕ . dθ . r . dϕ
dv = dx . dy . dz dv = r . dr . dθ . dz dv = r 2 .sin ϕ . dr . dθ . dϕ



I.2 Conservation de la masse
Un système matériel ( Σ ) est à masse conservative si toute partie (Si) de Σ qu’on suit au
cours du temps a une masse constante.

Conséquence :
r
Soit ϕ ( P,t ) est une fonction vectorielle définie sur Σ et dérivable par rapport au temps.
Pour tout repère R, on peut écrire :
d
dt ∫P∈Σ
r
[ R P
]
∈Σ
d r 
ϕ ( P ,t ) dm( P) = ∫  ϕ ( P ,t )  dm( P)
 dt R

En dynamique et énergétique, les systèmes étudiés seront à masse conservative.




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II CENTRE D’INERTIE
II.1 Définition
GΣ est le centre d’inertie de Σ s’il vérifie :
→
→
∫ P∈Σ
GP dm( P) = 0 ou encore
∫
P∈Σ
GP µ ( P) dv = 0 .

II.2 Propriétés Exemple : cette roue possède une
symétrie matérielle (axe de révolution
Position de GΣ :
Soit O un point quelconque.
(A, z )
z
z
mΣ OGΣ = ∫ OP dm( P)
P∈Σ


Si Σ présente un élément de symétrie matérielle A
(symétrie géométrique et symétrie de la distribution
y
massique) alors GΣ appartient à cet élément.
x
Centre d’inertie et centre de gravité y
En faisant l’hypothèse d’un champ de pesanteur
x
constant en tout point alors le centre d’inertie G est
Le centre d'inertie appartient donc à
confondu avec le centre de gravité (point
d’application de la résultante des efforts de pesanteur). l'axe A, z ( )
Résultantes cinétique/dynamique
Σ en mouvement par rapport à un repère R ; O fixe dans R
mΣ OGΣ = ∫ OP dm( P)
P∈Σ
d
(...)R
dt
d
dt
(
mΣ OGΣ )