1



Développements limités usuels en 0


x x2 xn
ex = 1+ + + ···+ + O xn+1
1! 2! n!
x3 x2n+1
sh x = x+ + ···+ + O x2n+3
3! (2n + 1)!
x2 x4 x2n
ch x = 1+ + + ···+ + O x2n+2
2! 4! (2n)!
x3 x2n+1
sin x = x− + · · · + (−1)n + O x2n+3
3! (2n + 1)!
x2 x4 x2n
cos x = 1− + + · · · + (−1)n + O x2n+2
2! 4! (2n)!

α(α − 1) 2 α(α − 1) · · · (α − n + 1) n
(1 + x)α = 1 + αx + x + ···+ x + O xn+1
2! n!
1
= 1 + x + x2 + x3 + · · · + xn + O xn+1
1−x
x2 x3 x4 xn
ln(1 − x) = −x − − − − ···− + O xn+1
2 3 4 n
1
= 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)n xn + O xn+1
1+x
x2 x3 x4 xn
ln(1 + x) = x− + − + · · · + (−1)n−1 + O xn+1
2 3 4 n
√ x x2 1 × 3 × · · · × (2n − 3) n
1+x = 1+ − + · · · + (−1)n−1 x + O xn+1
2 8 2 × 4 × · · · × 2n
1 x 3 2 1 × 3 × · · · × (2n − 1) n
√ = 1− + x − · · · + (−1)n x + O xn+1
1+x 2 8 2 × 4 × · · · × 2n
x3 x2n+1
Arctan x = x − + · · · + (−1)n + O x2n+3
3 2n + 1
x3 x2n+1
Argth x = x + + ···+ + O x2n+3
3 2n + 1
1 x3 1 × 3 × · · · (2n − 1) x2n+1
Arcsin x = x + + ··· + + O x2n+3
2 3 2 × 4 × · · · × 2n 2n + 1
1 x3 1 × 3 × · · · (2n − 1) x2n+1
Argsh x = x − + · · · + (−1)n + O x2n+3
2 3 2 × 4 × · · · × 2n 2n + 1

x3 2 17 7
th x = x− + x5 − x + O x9
3 15 315
1 2 17 7
tan x = x + x3 + x5 + x + O x9
3 15 315
2



Développements en série entière usuels


∞ an n
eax = x a ∈ C, x ∈ R
n=0 n!

∞ 1
sh x = x2n+1 x∈R
n=0 (2n + 1)!
∞ 1
ch x = x2n x∈R
n=0 (2n)!
∞ (−1)n
sin x = x2n+1 x∈R
n=0 (2n + 1)!

∞ (−1)n 2n
cos x = x x∈R
n=0 (2n)!

∞α(α − 1) · · · (α − n + 1) n
(1 + x)α = 1+ x (α ∈ R) x ∈ ] −1 ; 1 [
n=1 n!
1 ∞ 1
= n+1
xn (a ∈ C∗ ) x ∈ ] −|a| ; |a| [
a−x n=0 a
1 ∞ n+1 n
= n+2
x (a ∈ C∗ ) x ∈ ] −|a| ; |a| [
(a − x)2 n=0 a
k−1
1 ∞ Cn+k−1
= n+k
xn (a ∈ C∗ ) x ∈ ] −|a| ; |a| [
(a − x)k n=0 a

∞ 1 n
ln(1 − x) = − x x ∈ [ −1 ; 1 [
n=1 n

∞ (−1)n−1 n
ln(1 + x) = x x ∈ ] −1 ; 1 ]
n=1 n
√ x ∞ 1 × 3 × · · · × (2n − 3) n
1+x = 1+ + (−1)n−1 x x ∈ ] −1 ; 1 [
2 n=2 2 × 4 × · · · × (2n)
1 ∞ 1 × 3 × · · · × (2n − 1) n
√ = 1+ (−1)n x x ∈ ] −1 ; 1 [
1+x n=1 2 × 4 × · · · × (2n)
∞ (−1)n 2n+1
Arctan x = x x ∈ [ −1 ; 1 ]
n=0 2n + 1

∞ 1
Argth x = x2n+1 x ∈ ] −1 ; 1 [
n=0 2n + 1
1 × 3 × · · · × (2n − 1) x2n+1
∞
Arcsin x = x+ x ∈ ] −1 ; 1 [
n=1 2 × 4 × · · · × (2n) 2n + 1
∞ 1 × 3 × · · · × (2n − 1) x2n+1
Argsh x = x+ (−1)n x ∈ ] −1 ; 1 [
n=1 2 × 4 × · · · × (2n) 2n + 1
 3



Dérivées usuelles


Fonction Dérivée Dérivabilité

xn n∈Z nxn−1 R∗

xα α∈R αxα−1 R∗+

eαx α∈C αeαx R

ax a ∈ R∗+ ax ln a R
1
ln |x| R∗
x
1
loga x a ∈ R∗+ {1} R∗
x ln a
cos x − sin x R

sin x cos x R
1 π
tan x 1 + tan2 x = R + kπ k ∈ Z
cos2 x 2
−1
cotan x −1 − cotan 2 x = R πZ
sin2 x
ch x sh x R

sh x ch x R
1
th x 1 − th 2 x = R
ch 2 x
−1
coth x 1 − coth 2 x = R∗
sh 2 x
1
Arcsin x √ ] −1 ; 1 [
1 − x2
−1
Arccos x √ ] −1 ; 1 [
1 − x2
1
Arctan x R
1 + x2
1
Argsh x √ R
x2 + 1
1
Argch x √ ] 1 ; +∞ [
2
x −1
1
Argth x ] −1 ; 1 [
1 − x2
4



Primitives usuelles

I Polynômes et fractions simples
Fonction Primitive Intervalles
n∈N : x∈R
x0 ∈ R (x − x0 )n+1
n
(x − x0 ) n ∈ Z (N ∪ {−1}) :
n ∈ Z {−1} n+1
x ∈ ] −∞ ; x0 [ , ] x0 ; +∞ [

x0 ∈ R (x − x0 )α+1
(x − x0 )α ] x0 ; +∞ [
α ∈ C {−1} α+1

z0 ∈ C R (x − z0 )n+1
(x − z0 )n R
n ∈ Z {−1} n+1
1 a∈R ln |x − a| ] −∞ ; a [ , ] a ; +∞ [
x−a
1
1 ln (x − a)2 + b2
a ∈ R, b ∈ R∗ 2 R
x − (a + ib) x−a
+ i Arctan