1er Cycle – 2ème Année
Année scolaire 2016/2017

IE Longue Semestre 2
Mercredi 14 Juin 2017, durée : 3h
Consignes :
Vos résultats, mais aussi votre capacité à les justifier clairement et à les analyser et
commenter de manière critique seront évalués. Il est également rappelé de soigner
l’orthographe et la présentation des copies. Tout résultat absurde ou non homogène
sans commentaire sera sanctionné par un malus.
Calculatrice (type collège non programmable) et formulaire autorisés (2 feuilles de
synthèse recto-verso manuscrites individuelles, pas de photocopies acceptées, soit 4
pages au total)

Barème indicatif : Problème I : 10 points, Problème II : 10 points
Le sujet de ce devoir comporte deux problèmes qui sont totalement indépendants.



PROBLEME I : ETUDE D’UN GUIDE D’ONDE RECTANGULAIRE.


Un guide d’onde est un système rigide ou
flexible qui sert à guider les ondes
électromagnétiques ou les ondes acoustiques,
par réflexion sur les parois (cf figure 1). Les
guides d’onde sont utilisés dès lors que la
propagation des ondes souffre d’une
atténuation importante. On citera pour
exemple la présence de guides d’onde dans les
radars, les appareils de navigation aérienne et
maritime, la téléphonie, etc. La propagation
Figure 1: exemple de guide d’onde
des ondes guidées dépend de différents
paramètres, dont la géométrie du guide, les propriétés du matériau composant le guide, ainsi
que de la longueur d’onde des ondes guidées.
On considère un guide d’onde composé de parois métalliques (milieu conducteur parfait),
formant une section rectangulaire de dimensions intérieures a et b. On choisit de placer
l’origine O du repère sur un coin du guide, comme indiqué sur la figure 2. On considèrera
que le milieu contenu à l’intérieur du guide d’onde est un milieu diélectrique parfait non
chargé (c’est à dire ρ = 0 ), de perméabilité µ0, de permittivité ε.




1
 Parois
métalliques



Milieu
diélectrique


Milieu
diélectrique

a) b)
Figure 2 : a) géométrie d’un guide d’onde rectangulaire ; b) vue de la section du matériau diélectrique à
l’intérieur du guide d’onde, avec choix de l’origine sur un coin, les parois métalliques entourant le matériau ne
sont pas représentées.

On souhaite propager à l’intérieur du guide d’onde, c’est-à-dire dans le milieu diélectrique,
une onde électromagnétique ( E , B ) dont le champ électrique E est harmonique transverse
(il a donc une composante nulle dans la direction z), de pulsation ω. E possède une
polarisation quelconque dans le plan xOy. L’onde électromagnétique est a priori non
uniforme ; en outre on suppose le guide invariant par translation selon Oz. Toutes ces
conditions conduisent à écrire des composantes de E et B sous la forme :

Ex = f x ( x, y).e j (ωt −kz ) Bx = g x ( x, y).e j (ωt −kz )
Ey = f y ( x, y).e j (ωt −kz ) et By = g y ( x, y ).e j (ωt −kz )
Ez = 0 Bz = g z ( x, y ).e j (ωt −kz )

Avec f x , f y , f z , g x , g y , g z des fonctions a priori complexes.

1. A partir des équations de Maxwell, déduire l’équation aux dérivées partielles vérifiée
par le champ magnétique B dans le guide d’onde.
2. De cette équation, en déduire trois équations différentielles vérifiées respectivement
par g x , g y ,et g z .
3. La résolution de l’équation différentielle trouvée pour g z indique que cette fonction
peut s’écrire sous la forme g z = B0 sin( β1 x + ϕ1 )sin( β 2 y + ϕ2 ) , avec β1 , ϕ1, β2 , ϕ2 des
constantes. ϕ1 et ϕ2 sont compris entre 0 et π.
Des équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday, qui permettent de relier E
et B , on déduit que
∂ gz
jkc2 g y = k k f y = −ω g x
∂y
et
∂ gz k fx = ω gy
jkc2 g x = k
∂x

2
 Avec kc2 = ω 2 µ0ε − k 2

En déduire les expressions de f x , f y , en fonction de β1 , ϕ1, β2 , ϕ2 ,B0, kc2 et ω.

4. En appliquant rigoureusement les relations de passage sur le champ E , trouver les
valeurs et . Trouvez également les expressions de et en fonction de a, b
et 2 entiers m et n.
5. En déduire que l’expression complète de la composante E x du champ E s’écrit :

!"#$
= . . . .

Vous donnerez la valeur de α. Le couple (m,n) définit ce que l’on appelle un mode.
, -&'
6. Le champ électrique vérifiant aussi l’équation Δ &' − )* + , &', démontrer que
=0
12 2
/ = )* +0 − −
3 4

7. Dans le cas ou k2 est négatif, k est imaginaire pur et s’écrit ici / = −5/′ (avec k’ réel).
En déduire l’expression réelle de Ex. Caractériser complètement l’onde associée à Ex.
8. On veut que cette onde se propage sans atténuation. Qu’est-ce que cela impose sur
k2, pourquoi ?
9. Quelles sont les valeurs minimales de m et n permettant la propagation de Ex. En
déduire l’existence d’une pulsation de coupure ωc au-dessous de laquelle Ex ne
pourra pas se propager dans le guide.
10. Pour une onde de fréquence 0 , > 09 (correspondant à un mode (m,n)), donner sa
vitesse de phase Vφ en fonction de m, n , ω, a, b, µ0, et ε. Que pouvez-vous en
conclure concernant la nature du milieu ? En quoi cela peut-il poser des problèmes ?



Formulaire d’analyse vectorielle en coordonnées cartésiennes, dans la base (ex , ey , ez ) :

rot(rota) = grad(diva) - Δa

 ∂ 2 ax ∂ 2 ax ∂ 2 ax   ∂2ay ∂2ay ∂ 2ay   ∂ 2 az ∂ 2 az ∂ 2 az 
∆a =  2 + 2 + 2  ex +  2 + 2 + 2  y  2 + 2 + 2
e +  ez

 ∂x ∂y ∂z   ∂x ∂y ∂z   ∂x ∂y ∂z 

Equations de Maxwell dans un milieu quelconque:

∂B B ∂E
rot E = - , rot   = j + ε ( )
, div ε E = ρ , divB = 0
∂t µ ∂t




3
PROBLEME II : RESOLUTION INTERFEROMETRIQUE D’UNE ETOILE BINAIRE
En astronomie, une étoile binaire appelée aussi système (stellaire) binaire ou étoile
double physique, est un type de système
binaire composé de deux étoiles orbitant
autour d'un centre de gravité commun.
Sirius en est un bel exemple. L’intérêt des
astronomes pour les étoiles binaires réside
dans le fait que la connaissance de leurs
mouvements permet de calculer
directement leur masse, ainsi que d'autres
paramètres stellaires reliés à leur système
gravitationnel (leurs exo-planètes par
http://photojournal.jpl.nasa.go
exemple). Néanmoins, la difficulté à laquelle v/catalog/PIA03520
sont généralement confrontés les astronomes est d’arriver à distinguer deux étoiles
lorsqu’elles sont, vue de la terre, très proches l’une de l’autre. Une solution consiste à
utiliser un dispositif interférométrique dont le principe est décrit dans ce problème.


Etoile E x
L

T1
M
θ y
α z
O
f’
T2

Ecran


Figure 3 : Dispositif interférométrique éclairé par l’étoile E (onde plane avec un angle d’incidence θ).

Le dispositif est représenté sur la figure 3. Il comprend un filtre (non représenté) qui ne
laisse pas...