TSI2 Lycée Gustave Eiel
Mathématiques 2015/2016 - J. Aurouet
- Séries entières -

 RAYON DE CONVERGENCE :
- Prop : Lemme d'Abel. Soit r > 0.
Si (an rn )n∈N est bornée alors : ∀z ∈ C, |z| < r =⇒ an z n converge.
P
- Dénition à connaître par coeur ! ! ! On appelle rayon de convergence de
la série an z n la borne supérieure de {r ∈ R+ | (an rn )est bornée}.
P
- Règle de d'Alembert (hors programme) : Si lim aan+1n→+∞ n
= l alors le rayon
de convergence de an z n est R = 1l . Exemple : Pour en z on a R =P
1 n
e.
P P
Attention : cettePrègle ne s'applique√pas pour certaines séries comme an z 2n .
Exemple : Pour on a R = e.
1 2n
en z
- Règles de
P comparaison :
Soient an z n et bn z n de rayons de convergence Ra et Rb .
P
- Si (à partir d'un certain rang) |an | ≤ |bn | alors Ra ≥ Rb .
- Si an ∼ bn alors Ra = Rb .
P +∞
- nα an z n a le même rayon de convergence que an z n et ce ∀α ∈ R.
P
Attention : cet énoncé est faux pour n! ou nn . P
- Si Ra 6= Rb alors le rayon de convergence R de (an +bn )z n est min(Ra , Rb ).
- Si Ra = Rb on a juste R ≥ Ra .
- En pratique pour déterminer un rayon de convergence :
→ On revient à la dénition : pour quelles valeurs de r la suite (an rn ) est
bornée ? Puis on prendra R égal à la borne supérieure de ces valeurs.
→ On cherche une série plus simple ayant le même rayon de convergence :
- en déterminant un équivalent de an .
- en multipliant par les bonnes puissances de n pour simplier.
→ (dernier espoir) En utilisant la règle de d'Alembert s'il n'y a pas de piège.

 SOMME DE P SÉRIES ENTIÈRES :
- Def : Soit
P+∞ n a z n
une série entière de rayon de convergence R. Si R > 0 alors
f : x 7→ n=0 an xn est une fonction dénie et continue sur ] − R, R [ appelée
"somme de la série entière".
- Théorème de dérivation P terme àn−1 terme : f est dérivable sur ] − R, R [
et ∀x ∈] − R, R [, f 0 (x) = +∞ n=0 (n + 1)an+1 x .
P+∞ n
n=1 na n x =
- Conséquence : ∀n ∈ N, an = f n!(0) .
(n)


- Théorème d'intégration terme àPterme : ∀x ∈] − R, R [ on a :
xn+1 = n=1 n1 an−1 xn .
Rx P+∞ 1 +∞
0
f (t)dt = n=0 (n+1) an


 FONCTIONS DÉVELOPPABLES EN SÉRIES ENTIÈRES :
- Def : On dit que f est P développable en série entière au voisinage de 0 s'il
existe une série entièreP an z n de rayon de convergence R non nul tel que
∀x ∈] − R, R [, f (x) = n=0 an xn .
+∞

- Def : On dit que f est développable en série entière au voisinage de a ∈ R si
x 7→ f (x + a) est développable en série entière au voisinage de 0.
- Def : f est dite "analytique" sur I si elle est développable en série entière au
voisinage de tout point de I .
- Prop : Les fonctions analytiques sont de classe C ∞ et forme un R-espace
vectoriel (f + g et λf ∈ A(I)) et même une R-algèbre (f g ∈ A(I)).

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 DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES ENTIÈRES USUELS :
xn x2
P+∞
ex = n=0 n! =1+x+ 2 + ... R = +∞

x2n x2
P+∞
ch(x) = n=0 2n! =1+ 2 + ... R = +∞

x2n+1 x3
P+∞
sh(x) = n=0 2n+1! =x+ 6 + ... R = +∞
P+∞ (−1)n x2n x2
cos(x) = n=0 2n! =1− 2 + ... R = +∞
P+∞ (−1)n x2n+1 x3
sh(x) = n=0 2n+1! =x− 6 + ... R = +∞

1
P+∞
1−x = n=0 xn = 1 + x + x2 + x3 + ... R=1

1
P+∞ n n
1+x = n=0 (−1) x = 1 − x + x2 − x3 + ... R=1

1
P+∞ n 2n
1+x2 = n=0 (−1) x = 1 − x2 + x4 − x6 + ... R=1

On dériveP:
1 +∞
(1−x)2 = n=0 (n + 1)xn R=1

1
P+∞
(1+x)2 = n=0 (n + 1)(−1)n xn R=1

On intègre : P
+∞ 1 n
− ln(1 − x) = n=1 n x R=1
P 
P+∞ (−1)n n +∞ (−1)n
ln(1 + x) = n=1 n x n=0 n = ln(2) R=1

P+∞ (−1)n 2n+1
arctan(x) = n=0 2n+1 x R=1

Pour α ∈ R :
P+∞ α(α−1)(α−2)···(α−n+1) n
(1 + x)α = 1 + n=1 n! x R=1

Applications :
P+∞ (−1)n ·1·3···(2n−1) n
√1 =1+ x R=1
1+x n=1 2n n!

P+∞ (2n)!
√1 =1+ n
1−x n=1 (2n n!)2 x R=1

P+∞ (2n)!
√ 1 =1+ 2n
1−x2 n=1 (2n n!)2 x R=1

On intègre :
P+∞ (2n)! 2n+1
arcsin(x) = n=0 (2n n!)2 (2n+1) x R=1




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