TSI2 Lycée Gustave Eiel
Mathématiques 2014/2015 - J. Aurouet
- Espaces préhilbertiens et euclidiens -

 ESPACES PRÉHILBERTIENS.
Def : Une distance sur un ensemble E est une application d : E × E −→ R+
telle que :
- ∀x, y ∈ E, d(x, y) = d(y, x) (symétrique).
- ∀x, y ∈ E, d(x, y) = 0 ⇒ x = y (séparation).
- ∀x, y, z ∈ E, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (inégalité triangulaire).
Def : Une norme sur un R-espace vectoriel E est une application
||...|| : E −→ R+ telle que :
- ∀x ∈ E, ∀λ ∈ R, ||λ · x|| = |λ| · ||x|| (proportions absolues).
- ∀x ∈ E, ||x|| = 0 ⇒ x = 0E (séparation).
- ∀x, y ∈ E, ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (inégalité triangulaire).
Remarque : L'application (x, y) 7→ ||x−y|| dénie une distance sur E (distance
induite par la norme).
Def : Une forme bilinéaire symétrique est une application f : E×E −→ R qui est
linéaire par rapport à chacune des variables et tq : ∀x, y ∈ E, f (x, y) = f (y, x).
Def : Si ∀x ∈ E, ”f (x, x) ≥ 0” et ”f (x, x) = 0 ⇒ x = 0E ” (forme quadratique
dénie positive), on dit que f est un produit scalaire sur E
On notera f (x, y) √=< x, y > lorsque c'est un produit scalaire.
Remarque : ||x|| := < x, x > est une norme sur E (norme associé au produit
scalaire < . , . >).
Prop : Identités de polarisation
||x + y||2 − ||x||2 − ||y||2 ||x||2 + ||y||2 − ||x − y||2
∀x, y ∈ E, < x, y >= =
2 2
Def : La matrice d'une forme bilinéaire f dans une base B = (e1 , e2 , ...en ) est
la matrice M = (Mij ) telle que ∀ 1 ≤ i, j ≤ n, Mij = f (ei , ej ).
Prop : Inégalité de Cauchy-Schwarz. ∀x, y ∈ E, < x, y >≤ ||x|| · ||y|| et il
y a égalité si et seulement si x et y sont positivement liés.
Prop : Identité du parallélogramme.

∀x, y ∈ E, ||x + y||2 + ||x − y||2 = 2 ||x||2 + ||y||2
Def : On dit que deux vecteurs x et y de E sont orthogonaux si < x, y >= 0.
Prop : Théorème de Pythagore. Si deux vecteurs x et y de E sont ortho-
gonaux alors ||x + y||2 = ||x||2 + ||y||
P . De
2
même
P si n vecteurs x1 , x2 , ..., xn sont
orthogonaux deux à deux alors || xi ||2 = ||xi ||2 .
Def : Une famille e1 , e2 , ..., er de vecteurs est :
- orthogonale si ∀ 1 ≤ i, j ≤ r, i 6= j ⇒ < ei , ej >= 0.
- orthonormée si ∀ 1 ≤ i, j ≤ r, < ei , ej >= δij .
Prop : Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre. P
PropP: Si B := (e1 , ..., en ) est une base et x, y ∈ E , posons x = ni=1 xi ei et
yi ei . Alors :
n
y= i=1
- Si B est orthonormée, ||x||2 = ni=1 x2i et < x, y >= ni=1 xi yi .
P P
- Si B est
Pseulement orthogonale,
||x||2 = i=1 x2i < ei , ei > et < x, y >= i=1 xi yi < ei , ei >.
n Pn




1
Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt : Soit (f1 , ..., fn ) une
base de E . Il existe une base orthonormée (e1 , ..., en ) telle que
∀ 1 ≤ i ≤ n, ei ∈ VectR ((fj )1≤j≤i ). Pour l'obtenir :
On pose e1 := ||ff11 || et pour tout i tel que 2 ≤ i ≤ n on pose :
i−1
e0i
et
X
e0i := fi − < fi , ej > ej ei :=
j=1
||e0i ||

Def : On dit que deux sous-espaces F et G de E sont orthogonaux si
∀x ∈ F, ∀y ∈ G, < x, y >= 0 et on appelle "orthogonal de F " l'espace vectoriel :
F ⊥ := {x ∈ E | ∀y ∈ F < x, y >}.
Prop : Si E est de dimension nie (euclidien) alors :
dimR (F ⊥ ) = dimR (E) − dimR (F ).
Prop : F ⊂ F ⊥⊥ et si F est de dimension nie F = F ⊥⊥ et E = F ⊕ F ⊥ ,
dans ce cas : ∀x ∈ E, ∃!(y, z) ∈ F × F ⊥ , x = y + z , le vecteur y est alors appelée
le projeté orthogonal de x sur F , noté pF (x).
Prop : ∀x ∈ E, ∀y ∈ F, < x, y >=< pF (x), y >.
Def : Distance à F : ∀x ∈ E, d(x, F ) = inf y∈F d(x, y).
Prop : Si B := (e1 , e2 , ..., er ) est une base de F alors :
- Si B est orthogonale,
 Pr <x,ei >2  12
et .
Pr <x,ei > 2
pF (x) = i=1 <e i ,ei >
ei d(x, F ) = ||x|| − i=1 <ei ,ei >
- Si B est orthonormée,

1
pF (x) = i=1 < x, ei > ei et d(x, F ) = ||x||2 − i=1 < x, ei >2 2 .
Pr Pr

- Si F est un hyperplan et ~n est normal à F alors d(x, F ) = |<~||~ n|| .
n,x>|



 ISOMÉTRIES.
Ici E est de dimension nie (espace euclidien)
Def : u ∈ L(E) est une isométrie si ∀x ∈ E, ||u(x)|| = ||x|| (les distances sont
préservées). On a alors aussi ∀x, y ∈ E, < u(x), u(y) >=< x, y >. Les isométries
forment un sous-groupe de L(E) : "groupe orthogonal O(E)".
Exemple : Symétrie orthogonale (symétrie sur F parallèlement à F ⊥ ). Ré-
exion (symétrie par rapport à un hyperplan).
Prop : - u ∈ L(E) est une isométrie si et seulement si l'image d'une base
orthonormée est une base orthonormée.
- Si u ∈ O(E) et F sev stable par u alors F ⊥ est stable par u.
Def : Produit scalaire euclidien
Pn canonique 2sur R Pn: 2
n

∀x, y ∈ R , < x, y >= i=1 xi yi et ||x|| = i=1 xi . La base canonique est
n

alors une b.o.n. pour le produit scalaire canonique.
Représentation matricielle du produit scalaire canonique : Si X et Y
sont les vecteurs colonnes de x et y alors < x, y >= t XY .
Def : Une matrice M ∈ Mn (R) est orthogonale si t M M = In . L'ensemble des
matrices orthogonales est un sous-groupe de GLn (R) : noté On (R).
Prop : - M ∈ On (R) si et seulement elle est la matrice d'une isométrie dans
une base orthonormée.
- M ∈ On (R) si et seulement ses vecteurs colonnes forment une base ortho-
normées.
- Si M ∈ On (R) alors det(M ) = 1 ou −1.
Def : SOn (R) := {M ∈ On (R)| det(M ) = 1} (groupe spécial orthogonal).


2
Prop : Soit B0 une b.o.n. , B une base et u ∈ L(E). Alors :
- B est une b.o.n. si et seulement la matrice de passage de B0 à B est orthogonale.
- u ∈ O(E) ⇐⇒ MB0 (u) ∈ On (R).
Classication en dimension 2 : Si  M ∈ O2 (R)  alors M alors :
1 0
- Si det(M ) = −1, M est semblable à .
0 −1
- Si det(M ) = 1, M est semblable à une matrice rotation
 
cos(θ) − sin(θ)
avec θ ∈ [0, 2π[.
sin(θ) cos(θ)

Classication en dimension 3 : Si M ∈ O3 (R) alors M alors :
- Si det(M ) = 1, M est semblable à une matrice rotation
 
1 0 0
 0 cos(θ) − sin(θ)  avec θ ∈ [0, 2π[.
0 sin(θ) cos(θ)

- Si det(M ) = −1, M est semblable à une matrice de la forme :
 
−1 0 0
 0 cos(θ) − sin(θ)  avec θ ∈ [0, 2π[.
0 sin(θ) cos(θ)

Remarque : Si u ∈ O3 (R) est une rotation alors l'axe de rotation de u est
ker(u − Id).
Remarque : En dimension 2 comme en dimension 3, on peut trouver une
matrice de passage P réduisant M qui soit orthogonale.
Def : On dit que M est symétrique si t M = M . L'ensemble des matrices
symétriques Sn (R) est un espace vectoriel de dimension n(n+1)
2 .
Prop : Si M est symétrique alors :
- F stable par M ⇒ F ⊥ stable par M .
- Les sous-espaces propres de M sont orthogonaux.
- Théorème spectral : M est diagonalisable dans une base orthonormée.




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