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Catégorie :Category: mViewer GX Creator Lua TI-Nspire
Auteur Author: LPB
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Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a2725199
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Description
Chap 24 : Calcul différentiel
Chap 24 : Calcul différentiel
Préliminaire : Comparaison de fonctions à valeur dans un evn
( X , d ) espace métrique, A X , a A, ( E, ) evn.
f , g F ( A, E ) f a ( g ) U V(a), r 0, x U A, f ( x) M g ( x)
f oa ( g ) 0, U V(a), x U A, f ( x) g ( x)
f ~ a ( g ) f g oa ( g )
P est une propriété locale lorsque : f , g : A E , (U V(a) , f U A g U A ) (P ( f ) P ( g ))
I. Différentiabilité
( E, E
) et ( F , F
) evn sur ou . ouvert de E , a
f : F est différentiable en a s'il existe LC ( E , F ) tq :
x , f ( x) f (a) ( x a) x a ( x) où lim ( x) 0
x a
f (a h) f (a) (h) o0 (h) C'est une propriété locale
f est différentiable sur si elle l'est en tout point de
f constante f diff sur , avec 0 f linéaire f f diff en a C en a
S'il existe LC ( E, F ) tel que f (a h) f (a) (h) o0 (h), il est unique et est noté df a
a I intervalle de , f : I E evn. f dérivable en a f différentiable en a
Mn ( ) Mn ( )
1 x x E
est diff. en 0 de diff. nulle f diff en A de diff H AH HA
A A2
( E , | ) ph réel x diff en a E de diff. h 2 a | h C
2
E
n'est pas diff. en 0 x 2
f : E F G bilin. C f diff en (a, b) de diff. (h, k ) f (a, k ) f (h, b)
Si f et g sont diff en a, f g est diff en a de diff df a dga
F1 ... Fp
f diff en a ssi f1... f p sont diff en a , et dans ce cas df a (h) (df1a (h),..., df p a (h))
x ( f1 ( x),..., f p ( x))
f : ' ouvert de F , g : ' G , a , b f (a) ' , f diff en a de diff , g diff en b de diff
g f est diff en a de diff d ( g f )a dgb df a
df a (h)
f : , diff en a f 2 diff en a , d ( f 2 ) a : h 2 f (a)df a (h) d ( f ) a : h
2 f (a)
a
( E , | ) eph réel, a E {0}} 2
est diff en a de diff h h
a2
Règle de la chaîne : : I E arc dérivable en t0 I , avec (t0 ) , f : F diff en a
f est dérivable en t0 de dérivée df (t0 ) ( '(t0 ))
Fiches de maths - MP* - http://evarin.fr/ - 1
Chap 24 : Calcul différentiel
II. Dérivée selon un vecteur, dérivée partielle
ouvert de l'evn E , a , f : E F evn
u E. f possède une dérivée directionnelle selon le vecteur u lorsque : t f (a tu )
est définie au voisinage de 0 et possède une dérivée en 0
f diff en a u E , f possède une dérivée selon u , égale à df a (u)
x2 y
RECIPROQUE FAUSSE ( x, y)
x4 y 2
E et F de dim finie. (b1...bp ) base de F . (e) (e1...en ) base de E.
p p
f fi bi . f diff en a les ( fi ) le sont, h E , df a (h) df i a (h)bi (vrai pour
normes equiv)
i 1 i 1
f possède des dérivées partielles selon (e) lorsque : i 1, n , f possède une dérivée de direction ei
f diff en a f possède des dérivées partielles df a (ei ) RECIPROQUE FAUSSE
f f (a tei ) f (a)
A base (e) fixée, on note (a) lim si elle existe.
xi t 0
t 0
t
f f (a1 ,..., ai t ,..., an ) f (a1 ,..., an )
Pour E n
, on utilise la base canonique : (a) lim
xi t 0
t 0
t
n n
f
Lorsqu'elle existe, la différentielle est : hi ei h x (a) i
i 1 i 1 i
E n
,F p
,G q
ouvert de n
, a , f : p
f ( f1... f n ) (composantes de f )
f f1
1 (a) ( a )
f x
1
xn
Si f est diff en a , sa matrice jacobienne en a est : J f (a ) i (a)
x
j i , j f p
(a)
f p
(a)
...
Chap 24 : Calcul différentiel
Préliminaire : Comparaison de fonctions à valeur dans un evn
( X , d ) espace métrique, A X , a A, ( E, ) evn.
f , g F ( A, E ) f a ( g ) U V(a), r 0, x U A, f ( x) M g ( x)
f oa ( g ) 0, U V(a), x U A, f ( x) g ( x)
f ~ a ( g ) f g oa ( g )
P est une propriété locale lorsque : f , g : A E , (U V(a) , f U A g U A ) (P ( f ) P ( g ))
I. Différentiabilité
( E, E
) et ( F , F
) evn sur ou . ouvert de E , a
f : F est différentiable en a s'il existe LC ( E , F ) tq :
x , f ( x) f (a) ( x a) x a ( x) où lim ( x) 0
x a
f (a h) f (a) (h) o0 (h) C'est une propriété locale
f est différentiable sur si elle l'est en tout point de
f constante f diff sur , avec 0 f linéaire f f diff en a C en a
S'il existe LC ( E, F ) tel que f (a h) f (a) (h) o0 (h), il est unique et est noté df a
a I intervalle de , f : I E evn. f dérivable en a f différentiable en a
Mn ( ) Mn ( )
1 x x E
est diff. en 0 de diff. nulle f diff en A de diff H AH HA
A A2
( E , | ) ph réel x diff en a E de diff. h 2 a | h C
2
E
n'est pas diff. en 0 x 2
f : E F G bilin. C f diff en (a, b) de diff. (h, k ) f (a, k ) f (h, b)
Si f et g sont diff en a, f g est diff en a de diff df a dga
F1 ... Fp
f diff en a ssi f1... f p sont diff en a , et dans ce cas df a (h) (df1a (h),..., df p a (h))
x ( f1 ( x),..., f p ( x))
f : ' ouvert de F , g : ' G , a , b f (a) ' , f diff en a de diff , g diff en b de diff
g f est diff en a de diff d ( g f )a dgb df a
df a (h)
f : , diff en a f 2 diff en a , d ( f 2 ) a : h 2 f (a)df a (h) d ( f ) a : h
2 f (a)
a
( E , | ) eph réel, a E {0}} 2
est diff en a de diff h h
a2
Règle de la chaîne : : I E arc dérivable en t0 I , avec (t0 ) , f : F diff en a
f est dérivable en t0 de dérivée df (t0 ) ( '(t0 ))
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Chap 24 : Calcul différentiel
II. Dérivée selon un vecteur, dérivée partielle
ouvert de l'evn E , a , f : E F evn
u E. f possède une dérivée directionnelle selon le vecteur u lorsque : t f (a tu )
est définie au voisinage de 0 et possède une dérivée en 0
f diff en a u E , f possède une dérivée selon u , égale à df a (u)
x2 y
RECIPROQUE FAUSSE ( x, y)
x4 y 2
E et F de dim finie. (b1...bp ) base de F . (e) (e1...en ) base de E.
p p
f fi bi . f diff en a les ( fi ) le sont, h E , df a (h) df i a (h)bi (vrai pour
normes equiv)
i 1 i 1
f possède des dérivées partielles selon (e) lorsque : i 1, n , f possède une dérivée de direction ei
f diff en a f possède des dérivées partielles df a (ei ) RECIPROQUE FAUSSE
f f (a tei ) f (a)
A base (e) fixée, on note (a) lim si elle existe.
xi t 0
t 0
t
f f (a1 ,..., ai t ,..., an ) f (a1 ,..., an )
Pour E n
, on utilise la base canonique : (a) lim
xi t 0
t 0
t
n n
f
Lorsqu'elle existe, la différentielle est : hi ei h x (a) i
i 1 i 1 i
E n
,F p
,G q
ouvert de n
, a , f : p
f ( f1... f n ) (composantes de f )
f f1
1 (a) ( a )
f x
1
xn
Si f est diff en a , sa matrice jacobienne en a est : J f (a ) i (a)
x
j i , j f p
(a)
f p
(a)
...