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Catégorie :Category: mViewer GX Creator Lua TI-Nspire
Auteur Author: beliqueux
Type : Classeur 3.6
Page(s) : 35
Taille Size: 2.48 Mo MB
Mis en ligne Uploaded: 17/04/2021 - 05:56:42
Uploadeur Uploader: beliqueux (Profil)
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Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a2725190

Description 

MATHS PSI



Chap 13 : RÉDUCTION




Notations : E est un K-EV de dimension finie et f est un endomorphisme de E.

Objectif : Trouver une base de E dans laquelle la matrice de f est diagonale




I. VECTEURS PROPRES D’UN ENDOMORPHISME

1. Définitions

• Un vecteur propre de f est un vecteur non nul u ∈E tq f (u ) est colinéaire avec u

• Une valeur propre de f est un nombre λ∈K tel que :
il existe un vecteur u non nul tq f (u ) = λ u

• L’ensemble des valeurs propres de f s’appelle le spectre de f et se note Sp(f)

• Si λ est une valeur propre de f , le sous-espace propre associé à λ est :

{ u ∈E / f (u )=λ u } = Ker(f −λ Id E )

2. Propriétés des SEP

• Thme 1 : Chaque sous-espace propre est un SEV de E.

• Thme 2 :
➢ Les sous-espaces propres sont en somme directe ;

➢ Quand on concatène des bases des SEP, on obtient toujours une famille libre.


3. Recherche des valeurs propres

• Par définition :
⃗ u ∈Ker (f −λ Id ) ⇔ f−λ Id pas injective ⇔ f −λ Id pas bijective
λ VP de f ⇔ ∃u≠0,

• Thme 3 :
➢ Un scalaire λ est VP de f ssi f −λ Id n’est pas bijective.

➢ f est bijective ssi 0 n’est pas VP de f


RÉDUCTION 1/6
• Exple : Si dim(E) = 2 et Mat f =
( ) a b
c d
alors :


det( λ Id −f ) =
|
λ−a −b
−c λ−d
=
|
( )
a b c
• Exple : Si dim(E) = 3 et Mat f = a ' b ' c '
a″ b″ c″



| |
λ−a −b −c
alors det( λ Id −f ) = −a ' λ−b ' −c ' =
−a ″ −b ″ λ −c ″


• Déf : Le polynôme caractéristique de f est le polynôme χ f ∈ K [X ] déterminé par :
∀ λ ∈K , χf (λ ) = det(λ Id E −f )


• Propriétés : C’est un polynôme unitaire dont le degré est la dimension de E.

• Thme 4 :
➢ Les VP sont les racines du polynôme caractéristique ;

➢ Si dim(E) = n alors f a au plus n VP distinctes ;

➢ Si dim(E) = n alors f a au plus n VP comptées avec leur ordre de multiplicité.

• Exple 1 : f (x ,y ,z )=(z ,2 x +y ,z )

• Exple 2 : f (x , y , z ) = (3x −3y +2z ,−x +5y −2z ,−x +3y )

• Thme 5 :
➢ La dim du SEPλ est inférieure ou égale à la multiplicité de λ dans χ f

➢ Si λ est une racine simple de χ f , alors le SEPλ est de dimension 1.




RÉDUCTION 2/6
II. ENDOMORPHISME DIAGONALISABLE

1. Définition

• Déf : Un endomorphisme f de E est diagonalisable

ssi il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est diagonale

ssi il existe une base de E formée (uniquement) de vecteurs propres de f

• Exple 3 : Symétries et projecteurs

• Exple 4 : f (x ,y ) = (2x +y ,x +2 y )

• Exple 5 : f (x ,y ) = (x +3y ,y )



2. Caractérisation

• Thme 5 : Un endomorphisme de E est diagonalisable

ssi les SEP sont supplémentaires dans E

ssi la somme des dimensions des SEP est égale à la dimension de E



{
le polynôme caractéristique est scindé
ssi et
pour chaque VP, la dim du SEP est égale à l'ordre de multiplicité


• Rappel : Définition d’un polynôme scindé

• Exple 1 : f (x ,y ,z )=(z ,2 x +y ,z )


• Exple 2 : f (x , y , z ) = (3x −3y +2z ,−x +5y −2z ,−x +3y )


• Exple 6 : f (x ,y )=(x +2y ,2 x +y )



• Thme 6 : Condition suffisante de diagonalisabilité :

Si dim(E) = n et f possède n VP distinctes,

alors f est diagonalisable et chaque SEP est de dim 1.




RÉDUCTION 3/6
III. MATRICE CARRÉE DIAGONALISABLE

1. Définition

• Déf : A ∈ ℳ n (K ) est diagonalisable
ssi il existe une matrice diagonale semblable à A
c’est-à-dire : il existe D diagonale et P inversible tq A = P D P
−1




n
• Méthode : On note f l’endomorphisme de K associé à A ds la base canonique ℬ
n
et on cherche une base ℬ ' de K telle que Matℬ ' (f ) soit diagonale.

• Thme 7 :

➢ A est diagonalisable ssi f est diagonalisable ;

➢ Si A est carrée d’ordre n et a n VP distinctes, alors A est diagonalisable ;

➢ Si A est carrée d’ordre n et a moins de n VP,
alors on utilise le thme de caractérisation des endomorphismes diagonalisables.




( )
0 −1 2
• Exple 7 : A = 0 1 0
1 1 −1




( )
1 0 0
• Exple 8 : A = 0 1 −1
0 1 1


2. Valeurs propres d’une matrice carrée

• Déf :

➢ VP :

➢ Vecteurs propres :

➢ Polynôme caractéristique :


• Exple 9 : A =
( 3/ 4 1/ 4
1 /4 3/ 4 )
( )
1 1 1
• Exple 10 : A = 1 1 1
1 1 1


RÉDUCTION 4/6
• Thme 8 :

➢ Les VP de A sont les racines de son polynôme caractéristique.

➢ Une matrice carrée d’ordre n possède au plus n VP distinctes.

➢ Une matrice carrée d’ordre n
possède au plus n VP comptées avec leur ordre de multiplicité.




( )
1 1 1
• Exple 10 : A = 1 1 1
1 1 1


• Thme 9 : Si une matrice est triangulaire alors ses VP sont ses éléments diagonaux.


• Thme 10 : Si A est carrée d’ordre n et a un polynôme caractéristique scindé alors

➢ A possède exactement n VP comptées avec leur ordre de multiplicité ;

➢ tr(A) est égale à la somme des VP comptées avec leur ordre de multiplicité ;

➢ det(A) est égal au produit des VP comptées avec leur ordre de multiplicité
(chaque VP apparaissant autant de fois que son ordre de multiplicité)




( )
1 2 −1
• Exple 11 : A = 2 4 −2
3 6 −3


3. Applications de la diagonalisation des matrices

• Si A = P D P −1 alors :

➢ det(A) =

➢ ∀ k ∈ℕ, Ak =




➢ AM = M A ⇔




➢ M2 = A ⇔



RÉDUCTION 5/6
IV. POLYNÔMES ANNULATEURS

1. Théorème de Cayley-Hamilton

• Thme admis : Le polynôme caractéristique est toujours un polynôme annulateur.

2
• Exple : Si χ A (X ) = (X−1) (X −2) alors


2. Caractérisation des endomorphismes diagonalisables

• Thme admis : f est diagonalisable

ssi f possède un polynôme annulateur scindé et n'ayant que des racines simples

ssi le polynôme ∏ (X −λ ) est annulateur
λ ∈Sp (f )


2
• Exple : Si χ A (X ) = (X−1) (X −2) alors :




( )
2 1 1
• Exple 12 : A = 1 2 1
1 1 2



V. TRIGONALISATION

1. Définition

• Un endomorphisme f est trigonalisable
ssi il existe une base dans laquelle la matrice de f est triangulaire supérieure

• Une matrice A est trigonalisable
ssi il existe une matrice triangulaire supérieure semblable à A
ssi il existe T et P telles que A = P T P
−1




2. Caractérisation

• Thme admis :
➢ Une matrice est trigonalisable ssi son polynôme caractéristique est scindé.

➢ Toute matrice de ℳ n (ℂ) est trigonalisable


• Exple 1 : f (x , y , z )=(z ,2 x +y , z )


RÉDUCTION 6/6
Diagonalisation, trigonalisation.
Diagonalisation de matrices.

• le principe pour diagonaliser en pratique une matrice est simple : calculer les espaces propres
de la matrice et en déterminer des bases.
• sauf théorème préliminaire (polynôme annulateur scindé à racines simples, matrice symétrique
réelle, etc…), la diagonalisabilité d’une matrice en pratique s’obtient après le calcul des valeurs
propres et des sous-espaces propres et le constat fait...

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