Lycée Naval, Spé 2. Très généralement, une solution quelconque consiste en une superposition d’ondes
Physique des ondes. de ce type.
02- Phénomènes de propagation linéaires : absorption et dispersion
Phénomènes de propagation linéaires : absorption et dispersion 1.3 Relation de dispersion
Les phénomènes de propagation que nous avons jusqu’à présent considérés (pro- On reporte l’expression de ψ(x, t) dans l’équation de propagation :
pagation le long d’une corde, ondes acoustiques, propagation d’une onde EM dans iω
−ω 2 ψ + ψ + c2 k 2 ψ = 0
le vide) vérifiaient l’équation de d’Alembert. La propagation s’effectuait sans at- τ
ténuation et, dans le cas d’une onde plane progressive et harmonique, il existait On en déduit l’équation de dispersion reliant le vecteur d’onde à la pulsation :
 ω 2 iω
une relation linéaire entre le vecteur d’onde et la pulsation du type k = ω/c ca- k2 = − 2
ractérisant le fait qu’une onde se propageait à la célérité c et ceci quelle que soit c τc
sa fréquence. On parle alors de propagation non dispersive. On constate que la relation entre le vecteur d’onde k et ω n’est plus linéaire, le
vecteur d’onde pouvant de plus s’écrire :
De nombreux phénomènes physiques (décomposition de la lumière blanche par un
prisme, atténuation d’un signal au sein d’une fibre optique,. . .) mettent en jeu les k = kr (ω) + iki (ω)
phénomènes de dispersion ou d’atténuation. C’est l’objet de ce chapitre.
1.4 Interprétation
1 Onde dans un milieu linéaire absorbant et dispersif La fonction d’onde prend alors la forme simplifiée :

1.1 Équation modèle ψ(x, t) = ψ0 eki x ei(ωt−kr x)
ou tout aussi bien en notation réelle :
Reprenons l’exemple de la corde vibrante en présence de frottements modélisés
∂y ψ(x, t) = ψ0 eki x cos (ωt − kr x)
par une force de frottement fluide linéique −λ opposée à la vitesse.
∂t
→ Propagation : cos (ωt − kr x) décrit, pour kr > 0, une onde qui se propage
L’équation de propagation s’écrit alors :
dans le sens des x croissants.
∂2y ∂2y ∂y La phase de cette onde est ϕ = ωt − kr x, on en déduit la vitesse de phase :
µ 2 = T0 2 − λ ω
∂t ∂x ∂t vϕ =
Cette équation de propagation est linéaire mais elle diffère de l’équation de kr (ω)
d’Alembert par la présence d’une dérivée première par rapport au temps.
→ Absorption : avec ki < 0, le terme eki x décrit une atténuation de l’amplitude
c2
En posant = T0 /µ et τ = µ/λ, on aboutit à une équation modèle qui décrit la de l’onde sur une distance caractéristique δ = 1/|ki |.
propagation d’une onde dans un milieu linéaire absorbant et dispersif :
Dans un milieu linéaire absorbant et dispersif, une onde plane harmonique s’écrit
∂2ψ 1 ∂ψ ∂2ψ ψ(x, t) = ψ0 ei(ωt−kx) avec k = kr (ω) + iki (ω)
+ − c2 2 = 0 ω
∂t2 τ ∂t ∂x → kr , partie réelle du vecteur d’onde, est liée à la vitesse de phase : vϕ =
kr
Un milieu est dispersif si la vitesse de phase est une fonction de la fréquence.
1.2 Forme générique des solutions → ki , partie imaginaire du vecteur d’onde, est liée à l’absorption qui s’effectue
L’équation étant linéaire et à coefficients réels, on cherche des solutions sous la sur une distance caractéristique δ = 1/|ki |
forme d’ondes planes harmoniques de la forme :
Remarques :
ψ(x, t) = ψ0 ei(ωt−kx) avec k a priori complexe → dans le cas général, la vitesse de phase dépend de la fréquence et n’est pas

1
nécessairement égale à la célérité c, elle peut même être supérieure à celle-ci ! Plaçons-nous à x fixé. Le signal se décompose en un terme d’oscillation rapide
→ Pour un laser, le milieu peut se comporter comme un amplificateur : ki > 0. à la pulsation ω0 , la porteuse, et un terme d’oscillation lente à la pulsation δω,
l’enveloppe.

2 Propagation d’un paquet d’onde 2s0 s(0,t)
Dans cette partie, on considère un milieu dispersif non absorbant : le vecteur
d’onde est réel k = kr (ω).
0
2.1 Limite physique de l’onde plane harmonique
Une onde plane harmonique et progressive s’écrit, en notation réelle : −2s0
2π/δω
s(x, t) = s0 cos (ωt − kr (ω)x) t
s0
s(0,t) Si l’onde progressive purement monochromatique n’est absolument pas localisée,
on peut considérer que la superposition de deux ondes l’est partiellement au niveau
0 des ventres.
Observons la propagation de l’onde au cours du temps
−s0
t s(x,0)
s(x,t0 )
Cette onde, d’extension spatio-temporelle infinie, ne peut décrire à elle seule un
signal physique localisé dans le temps et l’espace.

2.2 Construction d’une onde localisée ∆xenveloppe
Nous allons montrer qu’il est possible de construire un signal physique en sommant
des ondes planes progressives harmoniques.

Superposition de deux ondes harmoniques
On considère deux ondes harmoniques de pulsations voisines :
x
ω0
s1 (x, t) = s0 cos (ω1 t − k1 x) et s2 (x, t) = s0 cos (ω2 t − k2 x) → la porteuse se propage à la vitesse de phase vϕ = ,
k0
avec ω1 = ω0 − δω et ω2 = ω0 + δω et, de même, k1 = k0 − δk et k2 = k0 + δk
...