Lycée Naval, Spé 2. µ(M, t) = µ0 + µ1 (M, t) P (M, t) = P0 + P1 (M, t) ~v (M, t) = ~v1 (M, t)
Physique des ondes.
µ0 et P0 désignant la masse volumique et la pression du fluide au repos.
01.2 - Ondes sonores dans les fluides.
03.1 - Interface entre deux milieux. Cas des ondes sonores. L’approximation acoustique consiste à traiter le problème dans une approxi-
mation linéaire en supposant µ1  µ0 , P1  P0 , et v1  cs .
Ondes sonores dans les fluides
L’expérience montre que les ondes sonores sont des vibrations longitudinales de
faible amplitude du milieu matériel dans lequel elles se propagent à la célérité cs 1.3 Linéarisation des expressions
sans dispersion. Dans ce chapitre, nous allons mettre en équation ces principaux On simplifie les équations en ne conservant que les termes d’ordre 1 en µ1 , P1 , ~v1
résultats. et leurs dérivées.


1 Mise en équations Équation de conservation de la masse
L’équation de conservation de la masse s’écrit :
1.1 Système d’équations ∂µ
+ div (µ~v ) = 0
∂t
Localement, la présence d’une surpression met le fluide en mouvement engendrant
une variation de la masse volumique ce qui modifie la pression et ainsi de suite. C’est à dire, dans le cas d’un développement à l’ordre 1 :
A priori, il faut donc prendre en compte 6 inconnues scalaires : ~v , P , µ et T . ∂ (µ0 + µ1 ) ∂µ1 ∂µ1
0= + div ([µ0 + µ1 ] v~1 ) = + div (µ0~v1 ) = + µ0 div (~v1 )
∂t ∂t ∂t
Pour résoudre ce problème, il faut considérer :
∂µ1
? une équation mécanique : PFD appliqué à une tranche de fluide ; 0= + µ0 div~v1
∂t
? une équation cinématique : équation de conservation de la masse ;
? une équation thermodynamique : équation tenant compte des échanges ther-
Principe fondamental de la dynamique
miques ;
? une équation d’état : f (P, µ, T ) = 0 caractérisant le fluide. En négligeant les effets de la pesanteur, on applique le principe fondamental de
la dynamique à une particule de fluide de volume dτ soumise à la résultante des
Dans le cas général, ce système de 6 équations couplées et non linéaires est com-
forces de pression :
plexe à résoudre. Nous allons faire des hypothèses simplificatrices en accord avec ∂~v1 −−→ ∂~v1 −−→
l’expérience. µdτ = −gradP dτ ⇒ µ = −gradP1
∂t ∂t
∂~v1 ∂~v1 ∂~v1 ∂~v1
1.2 Hypothèses simplificatrices avec µ = µ0 + µ1 ' µ0 à l’ordre 1 ; par conséquent :
∂t ∂t ∂t ∂t
→ L’expérience montre que la propagation des ondes sonores est caractérisée par ∂~v1 −−→
un faible amortissement au sein du fluide. µ0 = −gradP1
∂t
? On se place donc dans l’hypothèse du fluide parfait pour lequel l’évolution du Remarque : expression de l’accélération.
fluide est supposée isentropique. ∂v1 ∂v1 dv1 ∂v1 ∂v1 dx ∂v1 ∂v1
Pour v1 (x, t), dv1 = dt + dx, donc = + = + v1
→ L’onde sonore correspond à une faible perturbation par rapport à l’équilibre. ∂t ∂x dt ∂t ∂x dt ∂t ∂x
dv1 ∂v1 ∂v1
? Très généralement, la masse volumique µ(M, t), la pression P (M, t) et le vecteur Approximer par revient à négliger le terme d’ordre 2 : v1 . Plus
dt ∂t ∂x
vitesse ~v (M, t) au sein du fluide peuvent s’écrire : précisément en considérant une onde de la forme v1 (x, t) = U cos (ωt − kx) :

1
 ∂v1 ∂v1 ∂ 2 P1 1 ∂ 2 P1 1
∼ ωU et v1 ∼ kU 2 − = 0 avec cs = √
∂t ∂x ∂x 2 2
cs ∂t 2 µ 0 χS
2π 2 2π λ
kU 2  ωU impose U  U soit U  = cs .
λ T T
L’approximation acoustique revient à supposer que la vitesse locale d’une tranche
Généralisation à 3 dimensions
de fluide est très faible devant la célérité du son dans le milieu.
On admet la généralisation à 3 dimensions :
Équation thermodynamique
1 ∂ 2 P1 1
∆P1 − = 0 avec cs = √
L’évolution du fluide est supposée adiabatique et réversible c’est à dire isentro- c2s ∂t2 µ 0 χS
pique. On introduit donc le coefficient de compressibilité isentropique qui relie les
qui constitue l’équation de d’Alembert avec ∆ l’opérateur laplacien.
variations de pression et de masse volumique pour une transformation isentro-
pique :    
1 ∂V 1 ∂µ 1.6 Célérité du son
χS = − =
V ∂P S µ ∂P S
Au sein d’un gaz parfait
C’est à dire, pour une perturbation de faible amplitude :
1 ∆µ 1 µ1 Commençons par évaluer le coefficient χS sachant que, pour la transformation
χS ' × = × donc µ1 = χs µP1 à l’ordre 1 : µ 1 = χs µ 0 P 1
µ ∆P µ P1 isentropique d’un gaz parfait :
dP...