Lycée Naval, Spé 2. Cette particule de fluide de volume dV (potentiellement variable) contient N
Phénomènes de transport. 04. Fluides en écoulement. particules élémentaires ayant des vitesses microscopiques ~vi , pour une masse totale
constante δm. On associe à cette particule de fluide :
Fluides en écoulement
N
1 Débits et lois de conservation δm 1X
→ une masse volumique : µ = → un vecteur vitesse : ~v = ~vi
dV N
i=1
1.1 Le modèle du fluide continu
Ces grandeurs représentent localement la masse volumique et la vitesse du fluide.
Qu’est-ce qu’un fluide ?
Le mouvement du fluide est défini par le champ des vitesses ~v (~r, t), c’est à dire,
? Contrairement à un solide, quelle que soit la force exercée sur un fluide, celui-ci à l’instant t, la donnée du vecteur vitesse en chaque point du fluide.
se met en mouvement.
? Un fluide désigne aussi bien un liquide qu’un gaz (qui occupe tout l’espace 1.2 Débit massique, vecteur densité de courant de masse
offert).
Exemple à une dimension
Les gaz et les liquides se différencient principalement par la masse volumique.
Ainsi, dans les conditions ambiantes, pour l’eau liquide : µeau = 1, 0×103 kg · m−3 , vdt
section Σ
pour l’air µair = 1, 3 kg · m−3 . aire dS
pendant dt, la masse δm qui traverse Σ
v a pour expression: volume du
Le fluide, un milieu continu δ m=µ dSvdt cylindre

Un fluide (l’air dans la pièce, l’eau dans une canalisation) peut être décrit à plu- On appelle, débit massique élémentaire, la masse δm qui traverse la section
sieurs échelles : Σ par unité de temps :
? échelle macroscopique : à cette échelle L, de l’ordre de la taille du système (di- δm
mension de la pièce, diamètre de la canalisation), le fluide est un milieu continu. δDm = = µvdS en kg · s−1
dt
Cette échelle ne permet pas d’étudier les détails de l’écoulement.
? échelle microscopique : à cette échelle l, de l’ordre de la distance moyenne entre Généralisation
particules, le fluide est discontinu. Cette description, trop complexe, n’est pas Dans le cas général, il faut tenir compte de l’orientation relative du vecteur vitesse
nécessaire pour comprendre l’écoulement du fluide. local et de la normale à la surface.
? échelle mésoscopique : on décompose le fluide en "particules de fluide" de vdt
taille a telle que l  a  L. v
a  l assure que la particule de fluide contient suffisamment d’entités pour ef-
fectuer des moyennes et définir pression, température, masse volumique, vitesse dS
pour cet élément de fluide. θ
a  L permet de décrire les évolutions des grandeurs d’état au sein du fluide. dS cos θ

La masse δm qui traverse la section d’aire dS pendant dt est contenue dans le
~
volume vdtdS cos θ = ~v .dSdt, ce qui donne pour le débit massique élémentaire :
La particule de fluide
δm ~ = ~j.dS
~ ou δm = ~j.dSdt~
La particule de fluide est un système mésoscopique de masse constante. δDm = = µ~v .dS
dt

1
→ ~j = µ~v est appelé vecteur densité de courant de masse, il représente un j
dS
débit massique par unité de surface (en kg · m−2 · s−1 ).
surface V fixe
→ Le flux du vecteur courant à travers une surface orientée est égal au débit Σ m(t)
massique :
ZZ
Dm = ~
~j.dS j j
Σ
Justification :
1.3 Équations de conservation de la masse dM (t) d
ZZZ ZZZ
∂µ(P, t)
ZZZ
 ~
ZZ
= µ(P, t)dvp = dvp = − div~j dvp = −  ~j.dS
Bilan local dt dt V V ∂t V

→ Exemple unidirectionnel (géométrie cartésienne) :
1.5 Écoulements stationnaires (permanents)
dx
Ligne de courant, tube de courant
section Σ
aire dS j(x) j(x+dx)
→ Les lignes de courant sont les lignes tangentes au vecteur densité de courant
de masse en tout point et orientées par ce vecteur.
x x+dx → L’ensemble des lignes de courant s’appuyant sur un contour C engendre une
Pour ce volume élémentaire indéformable, le bilan de masse s’écrit : surface appelée tube de courant.
ligne de courant tube de courant
δm(x, t + dt) = δm(x, t) + jx (x, t)dSdt − jx (x + dx, t)dSdt ...