THEME2 : chapitre 0 REVISIONS DE MPSI et PCSI Lycée Jean Perrin PSI*




REVISIONS
DE
PCSI-MPSI


CINEMATIQUE

STATIQUE



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FICHE 1 - CALCUL VECTORIEL : RAPPELS




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APPLICATION au calcul


Soient 3 repères Ri (O,xi , yi ,zi ) définis de la façon suivante :
• R2 est obtenu par une rotation de R1 d'angle θ et d'axe (O,y1 ) ;
• R3 est obtenu par une rotation de R2 d'angle φ et d'axe (O,z 2 ) .

1. Représenter les figures planes correspondant aux 2 changements de base.




FIGURE 1 FIGURE 2

2. Déterminer les composantes des vecteurs unitaires x3 et y3 dans la base liée à R1.

3. Calculer : z1 ∧ x2 , z1. x2 , y3 ∧ z1 , y3 .z1 , y1 ∧ z2 , y1.z2

4. On donne les vecteurs V1 = ax 1 +bz1 et V2 = ax 3 ; calculer la projection de W = V1 ∧ V2 sur x1 .




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FICHE 2 - FERMETURE GEOMETRIQUE : METHODES




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FICHE 3 - Ce qu’il faut retenir de la CINEMATIQUE

Notation : la vitesse du point M appartenant à 1 dans le mouvement de 1 par rapport à R, un repère ou
bien par rapport à un solide associé à un repère R, est notée soit :


V (M ∈ 1 / R ) = V (M,1 / R ) = 
( )
 d OM 

 dt 
  R



la difficulté ici est de dériver un vecteur.

« /R » ne signifie pas qu’on exprime le vecteur dans la base associée au repère R

En effet, on pourra exprimer une vitesse à l’aide de vecteurs de bases différentes. Cela n’a
rien de choquant, le principal étant en SI de réduire le nombre de termes obtenus afin d’avoir
une expression simple du vecteur vitesse.

« /R » signifie que l’on va effectuer des dérivations mathématiques de vecteur par rapport à
la base associé à R .

on va voir cela par la suite avec le théorème de dérivation de vecteur par changement de
base, théorème indispensable en SI en raison de la présence de nombreuses bases en
mouvement relatif. En physique, vu le faible nombre de base en présence, on se contente
de projeter dans la base liée au bâti afin de dériver un vecteur en se ramenant à dériver
plusieurs scalaires en SI



La vitesse d'un point correspond donc à la variation, au cours du temps, de sa position. Elle s'obtient donc
en dérivant par rapport au temps la fonction trajectoire. Elle est tangente à la trajectoire. Son unité est le
m/s.

L'accélération correspond à la variation de la vitesse. Elle s'obtient donc en dérivant la vitesse par
rapport au temps. Son unité est le m/s-².
( ) 
 d2 OM
Γ (M ∈ 1 / R ) = Γ (M,1 / R ) =  =
(
 d V (M ∈ 1 / R ) ) 
 dt 2   dt 
 R  R

L’indispensable théorème de dérivation de vecteur par changement de base :

 dU   dU 
  =  + ΩRi / Rj ∧ U
 dt  Rj  dt  Ri

Méthode 1 pour le calcul de vitesse : dérivation directe avec la formule suivante qui s'appelle la «
Formule de BOOR ». Elle est indispensable pour calculer la vitesse d'un point dont les coordonnées sont
exprimées dans un repère mobile par rapport à un autre repère (c'est-à-dire dans quasiment tous les
calculs de cinématique !)

( )
 d OM   d OM  ( )
V (M ∈ 1 / R ) = 
 dt 
 =
 dt 
 + ΩR1 / R ∧ OM
( )
 R  R1
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Méthode 2 pour le calcul de vitesse : composition des torseurs cinématique

Torseur cinématique du solide (1) dans son mouvement par rapport au solide (0): 2 manières de
l’écrire !!!



 Ω1/0   Ω x1/0 Vx ( P,1/0 ) 
{v1/0 }P =  {v1/0 }P

= Ω y1/0 Vy ( P,1/0 ) 

V ( P,1/0 )  P , R  V P,1/0 ) 
 Ω z1/0 z ( P,R

(Vecteurs Résultante et Moment en lignes)
(Composantes Résultante et Moment en
colonnes en projection dans R)

La formule suivante est connue sous les noms de « relation de Varignon » ou « formule de distribution
des vitesses ». Elle permet de déterminer complètement le torseur cinématique d'un solide (1) en
mouvement par rapport à un solide (0)



Les relations de composition des vecteurs vitesses et des vecteurs vitesse de rotation,
pour trois solides (0) , (1) et (2), se résument ainsi :




Attention !!! On ne peut additionner deux torseurs que lorsqu'ils sont exprimés au même point !

Condition de roulement sans glissement : on dit qu’il y a roulement sans glissement entre un solide i et
un solide j au point M lorsque :


V(M∈i/ j) = 0 = V(M∈i/ 0) −V(M∈j/ 0)

Torseur 3D torseur 2D (forme simplifiée du torseur) : si le problème est plan, de normale z alors


 Ω x1/0 Vx ( P,1/0 )  Ωx1/0 Vx ( P,1/0) 
 
{v1/0 }P

= Ω y1/0 Vy ( P,1/0 ) 

{v1/0}P = Ωy1/0 Vy ( P,1/0)
 V P,1/0) 
Ωz1/0 z (
 V P,1/0 ) 
 Ω z1/0 z ( P,R P,R
(
avec R x , y, z )
NB2 : signifie n’existe pas !




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FICHE 4 - Ce qu’il faut retenir de la STATIQUE

Notation : le moment des actions mécaniques exercé par K sur S au point P, est notée :
M (P,K → S )
On utilise l'outil torseur pour modéliser l'action mécanique de (K) sur (S).

 R K→S 
{TK →S }P = 
 M ( P , K → S )  P
Avec la formule de déplacement du moment entre les points P et N :

M (P,K → S ) = M (N,K → S ) + RK →S ∧ NP ou M (P,K → S ) = M (N,K → S ) + RK →S ∧ NP



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