MECÀNICA DE FLUIDS 102112




RESOLUCIÓ:


El perfil de velocitats tindrà una distribució radial entre i .
L'anàlisi es fa suposant l'espai anul·lar ple d'oli1, de manera que si
s'agafa un de gruix r i llargada , aquest estarà en equilibri
i sotmès a les forces següents, totes en direcció
vertical:

-Pes:



-Pressió (només a la part superior, ja que per sota està obert):



-Fricció (cara interna amb )



-Fricció (cara externa amb )




Plantejant l'equilibri de totes les forces:




1 En estar el tub obert per la part inferior, el moviment del cable el podria buidar parcialment si totes les velocitats tenen sentit cap amunt, cosa que obligaria
a fer una anàlisi en règim transitori. Aquí se suposarà que tot l'espai anul·lar es manté ple d'oli.
Integrant aquesta expressió:




i, per la llei de Newton2,


→




on s'ha simplificat la notació fent:


Condicions de contorn: i

[1]


[2]

Restant [1]-[2]:




De [2]:




Unificant l'expressió :




2 Sobre el signe d'aquesta expressió, vegeu la nota addicional de la pàgina 72 del llibre de teoria.
Aquesta distribució es pot observar a la figura següent:



0,035 v(r1) (m/s)

0,030 0
0,025 0,001
0,002
0,020
0,003
0,015 0,004
v (m/s)




0,007
0,010
0,01
0,005 0,015
0,000 0,02
0,0285713904
-0,005
0,035
-0,010
r (m)



On s'assenyalen les corbes v(r) per a diferents velocitats del cable. El tub no gotejarà quan toptes les velocitats tinguin sentit
ascendent o valor nul; la velocitat més baixa per a la qual es compleix la condició serà aquella que tingui el valor mínim de la
corba a . Com que:




la velocitat límit que satisfà aquest mínim val:




Amb els valors de l'enunciat, 0,02857 m/s


Si el cable està parat ( ), la velocitat màxima de l'oli en sentit descendent es produeix a r=0,00396 m
i val v=-0,006032 m/s.


Amb el valor de que proporciona l'enunciat no hi ha flux descendent en les condicions de resolució del problema, i per tant
no hi ha degoteig i el cabal de buidat és zero.


1,000 v(R1) (m/s)
0,900

0,800 0,1
0,700 0,2
0,600
0,3
0,4
0,500
v (m/s)




0,5
0,400
0,6
0,300
0,7
0,200
0,8
0,100 0,9
0,000 1


r (m)
 GRAUS EN ENGINYERIA MECÀNICA I ELECTRÒNICA INDUSTRIAL I AUTOMÀTICA
Assignatura: MECÀNICA DE FLUIDS Data: 25 de març del 2009




NOTA: aquest problema coincideix parcialment amb el problema 3.3 de la col·lecció.

Resolució:
En ser el gruix de la capa d'oli gran en relació als radis dels cilindres no es
pot assumir que la velocitat segueix un perfil lineal (cosa que, per altra
banda, convertiria el problema en trivial). Per tant, caldrà cercar quin és el
perfil sabent que, a les respectives superfícies cilíndriques, la velocitat
(tant dels cilindres com de l'oli que hi està en contacte) val:
i

D'acord amb la llei de Newton de la viscositat:

Ja que quan augmenta, disminueix ( )

Agafant un element de volum en què la velocitat sigui constant1,
les forces actuants sobre cada superfície cilíndrica donen una resultant nul·la, en distribuir-se de manera tangencial i
uniforme al voltant del cilindre. La força de frec sobre cada superfície cilíndrica, tanmateix, farà un moment no nul respecte
a l'eix de gir, però en el conjunt del , en estar aquest en equilibri,

I, per tant,
→ →

→ → →


→

Aplicant les condicions de contorn:
→ [1] i → [2]
D'aquí, fent [1]- [2]:

→ i

I, finalment2:

→


Amb aquest resultat es pot verificar ( en m/s) que:
0,4
V (m/s)




0,35

0,3

0,25

...