Chapitre 7.
Suites et séries de fonctions

Jean-Michel Ferrard


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 Table des matières du chapitre 7


Table des matières du chapitre 7



7.1. Modes de convergence d’une suite de fonctions
7.2. Modes de convergence d’une série de fonctions
7.3. Régularité de la limite d’une suite de fonctions
7.4. Régularité de la somme d’une série de fonctions




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7.1. Modes de convergence d’une suite de fonctions

Dans tout ce chapitre, on considère des fonctions définies sur un intervalle I de
R, à valeurs dans K = R ou C.

Définition (convergence simple sur I, d’une suite de fonctions)
On considère une suite de fonctions fn : I ⊂ R → K.
On dit que la suite (fn )n≥0 est simplement convergente sur I si, pour tout x de
I, la suite n 7→ fn (x) est convergente dans K.
Posons f (x) = lim fn (x) pour tout x de I.
n→+∞
On dit que f : I → K est la limite simple sur I de la suite (fn )n≥0 .

L’application f est ici caractérisée par :
∀ x ∈ I, ∀ ε > 0, ∃ n0 ∈ N, ∀ n ≥ n0 , |fn (x) − f (x)| ≤ ε
Dans cette définition, on note que n0 dépend à la fois de ε et de x.

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7.1. Modes de convergence d’une suite de fonctions

Définition (convergence uniforme, sur I, d’une suite de fonctions)
On considère une suite de fonctions fn : I ⊂ R → K.
On dit que la suite (fn )n≥0 est uniformément convergente sur I s’il existe une
fonction f : I → K telle que :
• Les fonctions fn − f sont bornées sur I
• Pour tout ε > 0, il existe n0 dans N tel que :
∀ n ≥ n0 , ∀ x ∈ I, |fn (x) − f (x)| ≤ ε

L’application f est ici caractérisée par :
∀ ε > 0, ∃ n0 ∈ N, ∀ n ≥ n0 , ∀ x ∈ I, |fn (x) − f (x)| ≤ ε

Dans cette définition, on notera que n0 dépend seulement de ε.

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7.1. Modes de convergence d’une suite de fonctions
On utilise les expressions (idem pour la convergence simple) :
La suite (fn )n≥0 converge uniformément vers f sur I.
(fn )n≥0 CV vers f sur I au sens de la convergence uniforme.
La fonction f est limite uniforme de la suite (fn )n≥0 sur I.

Définition (norme de la CVU pour les fonctions bornées sur I)
On note B(I, K) l’ensemble des fonctions bornées de I dans K.
C’est un sev de l’ev F(I, K) de toutes les fonctions de I dans K.
Pour tout élément f de B(I, K), on pose kf k∞ = sup |f (x)|.
x∈I
C’est une norme sur B(I, K), dite  de la convergence uniforme .

On dit aussi  norme indice infini  ou  norme infinie .

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7.1. Modes de convergence d’une suite de fonctions


Rappelons en quoi f 7→ kf k∞ est une norme sur B(I, K) :
Pour tous (f, g) de B(I, K), et pour tout λ de K :

kf k∞ ≥ 0,
 avec kf k∞ = 0 ⇔ f ≡ 0
kλf k∞ = |λ| kf k∞

kf + gk ≤ kf k + kgk (inégalité triangulaire)
∞ ∞ ∞


En généralisant ce qui a été vu dans le cas des evn de dimension finie (mais
B(I, K) n’est pas de dimension finie) la norme k k∞ permet de définir les notions
suivantes : distance, ensembles ouverts ou fermés, adhérence, limites, etc.




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7.1. Modes de convergence d’une suite de fonctions

On peut redéfinir la convergence uniforme avec la norme k k∞ :
Définition (convergence uniforme exprimée avec la norme k k∞ )
On considère une suite de fonctions fn : I ⊂ R → K.
La suite (fn )n≥0 est uniformément convergente vers f : I → K si :
• Les fonctions fn − f sont bornées sur I
• La suite fn − f converge vers 0, au sens de la norme k k∞ .

La dernière propriété s’énonce aussi par : lim kfn − f k∞ = 0.
n→+∞

Si fn et f sont bornées sur I, on peut traduire cette propriété par :
 la suite (fn )n≥0 converge vers f dans l’espace B(I, K) muni de la norme de la

convergence uniforme .


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7.1. Modes de convergence d’une suite de fonctions


Proposition (convergence uniforme implique convergence simple)
On considère une suite de fonctions fn : I ⊂ R → K.
Si la suite (fn )n≥0 est uniformément convergente sur I vers une fonction f , alors
elle est simplement convergente sur I vers f .

La réciproque est fausse comme le montre l’exercice suivant.

Exercice
On définit les fonctions fn : [0, 1] → R par fn (x) = xn .
Étudier la convergence de la suite (fn )n≥0 .




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7.1. Modes de convergence d’une suite de fonctions

Remarques
Pour prouver la CVU de (fn )n≥0 , on commence en général par la convergence
simple, ce qui permet d’identifier la fonction f .
On cherche ensuite à majorer |fn (x) − f (x)|, indépendamment de x, par une
suite positive convergeant vers 0.
Pour prouver au contraire que (fn )n≥0 n’est pas CVU sur I vers f , il suffit
d’exhiber une suite (xn )n≥0 de I telle que la suite n 7→ fn (xn ) − f (xn ) ne
converge pas vers 0.
Si (fn )n≥0 est CVS (resp. CVU) sur I, il en est de même sur tout
sous-intervalle J de I. Étudier la convergence de (fn )n≥0 , c’est préciser sur
quel sous-intervalle  maximal  de I on a la  meilleure  convergence (et
uniforme c’est mieux que simple).

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7.1. Modes de convergence d’une suite de fonctions

Remarques
Avec la notation kf − fn k∞ , il faut bien préciser l’intervalle.
La notation sup |f (x) − fn (x)| est plus précise et plus sûre.
x∈J

En l’absence de CVU sur I, on verra qu’il est parfois possible de se
 contenter  de la CVU sur tout segment [a, b] de I (on parle alors de

 convergence uniforme sur tout compact  de I).



Exercice
x
On définit les fonctions fn : R+ → R par fn (x) = .
n(1 + xn )
1
Montrer que : ∀ x ∈ R+ , ∀ n ∈ N∗ , 0 ≤ fn (x) ≤ . Conclusion ?
n


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7.1. Modes de convergence d’une suite de fonctions


Exercice
 nx 
Pour tout n de N, on définit fn : R → R par fn (x) = cos .
n+1
Étudier la convergence de la suite (fn )n≥0 .


Exercice
On se donne un réel k.
Pour tout n de N, on définit fn : R+ → R par fn (x) = nk x2 e−nx .
Étudier la convergence de la suite (fn )n≥0 , en discutant suivant k.




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7.2. Modes de convergence d’une série de fonctions
Définition (sommes partielles d’une série de fonctions)
On considère une suite de fonctions fn : I ⊂ R → K.
N
P
Pour tout N de N, on pose SN = fn .
n=0
P
Les SN sont dites sommes partielles de la série de fonctions fn .

Défi...