Chapitre 2.
Réduction des endomorphismes

Jean-Michel Ferrard


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 Table des matières du chapitre 2


Table des matières du chapitre 2




2.1. Éléments propres
2.2. Polynôme caractéristique
2.3. Diagonalisation et trigonalisation




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 2.1. Éléments propres


2.1. Éléments propres




2.1.1. Éléments propres d’un endomorphisme
2.1.2. Éléments propres d’une matrice carrée
2.1.3. Propriétés générales des éléments propres




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 2.1. Éléments propres 2.1.1. Éléments propres d’un endomorphisme


2.1.1. Éléments propres d’un endomorphisme
Soit E un K-espace vectoriel et soit u un endomorphisme de E.
Proposition (droite stable par un endomorphisme)
Soit D une droite vectorielle de E.
Les propositions suivantes sont équivalentes :
• la droite vectorielle D est stable par u (c’est-à-dire u(D) ⊂ D).
• il existe λ ∈ K tel que : ∀ x ∈ D, u(x) = λx (càd u|D = λIdD ).
• il existe λ ∈ K, et il existe x non nul dans D, tels que u(x) = λx.

Définition (vecteurs propres d’un endomorphisme)
Soit x un vecteur non nul de E. On dit que x est vecteur propre de u si la droite
vectorielle D = Kx est stable par u. Cela équivaut à l’existence d’un (unique)
scalaire λ tel que u(x) = λx.

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2.1.1. Éléments propres d’un endomorphisme

Définition (valeurs propres, spectre d’un endomorphisme)
Soit u dans L(E), et soit λ un scalaire. On dit que λ est valeur propre de u s’il
existe un vecteur x 6= 0 dans E tel que u(x) = λx.
L’ensemble (éventuellement vide) des valeurs propres de u est appelé le spectre
de u, et noté Sp(u).
(
x 6= 0
Le vecteur x est propre pour u ⇔
∃ λ ∈ K, u(x) = λx
Le scalaire λ est déterminé par x, et : ∀ y ∈ Kx, u(y) = λy.
Pour exprimer que la droite D = Kx est stable par u, on dit aussi que D est
une droite vectorielle propre de u.
Dire que λ est dans Sp(u), c’est dire qu’il existe dans E des  vecteurs propres
pour la valeur propre λ .
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2.1.1. Éléments propres d’un endomorphisme

Trois propositions synonymes
On a les équivalences :
u(x) = λx ⇔ (u − λId)(x) = 0 ⇔ x ∈ Ker (u − λId)
Les propositions suivantes sont donc synonymes :
λ est valeur propre de u
Ker (u − λId) n’est pas réduit à {0}
l’endomorphisme u − λId n’est pas injectif.

Definition (sous-espace propre d’un endomorphisme)
Soit u dans L(E), et soit λ dans Sp(u).
Le sous-espace Eλ (u) = Ker (u − λId) = {x ∈ E, u(x) = λx} est appelé le
sous-espace propre de u pour la valeur propre λ.

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 2.1. Éléments propres 2.1.1. Éléments propres d’un endomorphisme


2.1.1. Éléments propres d’un endomorphisme

Remarques de terminologie
Par définition, un sous-espace propre n’est jamais réduit à {0}.
Un sous-espace propre Eλ (u) est stable par u : la restriction de u à Eλ (u) est
en effet l’application x 7→ λx (l’homothétie de rapport λ si λ 6= 0, et
l’application nulle sinon).
Soit λ une valeur propre de u. Les vecteurs propres de u pour λ sont les
éléments non nuls de Eλ (u) = Ker (u − λId).
Ou encore : Eλ (u) = Ker (u − λId) est formé des vecteurs propres de u pour λ
et du vecteur nul.
Si x est vecteur propre de u, c’est pour une seule valeur propre (l’unique λ tel
que u(x) = λx). En revanche, il y a une infinité de vecteurs propres de u pour
λ : ce sont les x 6= 0 de Eλ .

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2.1.1. Éléments propres d’un endomorphisme


Cas particuliers
On suppose que E n’est pas réduit à {0}.
Si u = λId, alors Sp(u) = {λ} et Eλ (u) = E.
Réciproquement, Sp(u) = {λ} n’implique pas u = λId.
Par exemple, soit ∈ L(R2 ) défini par u(x, y) = (y, 0).
On a Sp(u) = {0} mais u n’est pas l’application nulle.
Le scalaire 0 est dans Sp(u) si et seulement si u est non injectif.
Le sous-espace propre associé est alors E0 (u) = Ker (u).




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2.1.1. Éléments propres d’un endomorphisme

Quelques exemples simples
Le spectre de u ∈ L(K[X]) défini par u(P ) = XP est vide.
Le spectre de u ∈ L(R2 ) défini par u(x, y) = (−y, x) est vide.
Le spectre de u ∈ L(C2 ) défini par u(x, y) = (−y, x) est {−i, i}.
Le spectre de u ∈ L(K[X]) défini par u(P ) = XP 0 est N.
Le spectre de u ∈ L(C∞ (R, R)) défini par u(f ) = f 0 est R.
On suppose que E = F ⊕ G, avec F 6= {0} et G 6= {0}.
Soit p la projection vectorielle de E sur F parallèlement à G.
(
E0 (p) = Ker (p) = G
Alors Sp(u) = {0, 1}, avec
E1 (p) = Inv(p) = Im (p) = F


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 2.1. Éléments propres 2.1.1. Éléments propres d’un endomorphisme


2.1.1. Éléments propres d’un endomorphisme


Exercice
Soit E l’espace des fonctions continues de R+ dans R.
Soit T définie sur E par
1 x
Z
T (f )(0) = f (0) et T (f )(x) = f (t)dt pour x > 0
x 0
1 Montrer que T est un endomorphisme de E.
2 Déterminer Ker (T ) ; T est-elle injective ? surjective ?
3 Valeurs propres non nulles de T ? Sous-espaces propres ?




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 2.1. Éléments propres 2.1.1. Éléments propres d’un endomorphisme


2.1.1. Éléments propres d’un endomorphisme



Exercice
Soit u et v deux endomorphismes d’un K-espace vectoriel E.
1 Soit λ 6= 0. On suppose que λ est valeur propre de vu.
Montrer que λ est valeur propre de uv.
2 Étudier le cas particulier λ = 0, d’abord si E est de dimension finie, puis dans
le cas général.




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 2.1. Éléments propres 2.1.2. Éléments propres d’une matrice carrée


2.1.2. Éléments propres d’une matrice carrée

Definition (éléments propres d’une matrice carrée)
Soit A dans Mn (K). Les éléments propres de A sont ceux de l’endomorphisme
X 7→ AX de Mn,1 (K).

Un scalaire λ est valeur propre de A s’il existe une matrice-colonne X non
nulle telle que AX = λX.
Le spectre de A est l’ensemble Sp(A) des valeurs propres de A.
Si λ ∈ Sp(A), les vecteurs propres de A pour λ sont les colonnes X non
nulles telles que AX = λX.
Si λ ∈ Sp(A), le sous-espace propre de A pour λ est l’ensemble des colonnes
X telles que AX = λX.


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2.1.2. Éléments propres d’une matrice carrée

Plus généralement :
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n, muni d’une base B.
Soit u un endomorphisme de E, de matrice A dans la base B.
Pour x ∈ E, soit [x]B la colonne des composantes de x dans B.
Pour tout scalaire λ, et pour tout x de E, on a :
u(x) = λx ⇔ [u(x)]B = λ[x]B ⇔ A[x]B = λ[x]B

En d’autres termes :
Les valeurs propres de A sont celles de u, donc le spectre de A est celui de u.
Les vecteurs propres de A sont les colonnes des composantes (dans B) des
vecteurs propres de u.


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