Chapitre 3.
Espaces préhilbertiens réels

Jean-Michel Ferrard


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 Table des matières du chapitre 3


Table des matières du chapitre 3



3.1. Produit scalaire et norme associée
3.2. Orthogonalité
3.3. Bases orthonormales d’un espace euclidien
3.4. Projection orthogonale
3.5. Formes linéaires sur un espace euclidien




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 3.1. Produit scalaire et norme associée


3.1. Produit scalaire et norme associée




3.1.1. Espace préhilbertien réel, espace euclidien
3.1.2. Norme associée à un produit scalaire
3.1.3. Produit scalaire usuel du plan ou de l’espace




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 3.1. Produit scalaire et norme associée 3.1.1. Espace préhilbertien réel, espace euclidien


3.1.1. Espace préhilbertien réel, espace euclidien
Dans tout le chapitre, E désigne un espace vectoriel sur R.
Définition (produit scalaire sur un R-espace vectoriel)
E × E −→ R
Un produit scalaire est une application notée
(x, y) 7→ (x | y)
qui possède les propriétés suivantes,
pour tous vecteurs x, x0 , y, y 0 , pour tous scalaires α, β :
(
(αx + βx0 | y) = α (x | y) + β (x0 | y)
• caractère bilinéaire :
(x | αy + βy 0 ) = α (x | y) + β (x | y 0 )
• caractère symétrique : (x | y) = (y | x).
• caractère positif : (x | x) ≥ 0.
• caractère défini : (x | x) = 0 ⇔ x = 0.

Produit scalaire =  forme bilinéaire symétrique définie positive .
On utilise aussi les notations x·y ou < x, y > .
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 3.1. Produit scalaire et norme associée 3.1.1. Espace préhilbertien réel, espace euclidien


3.1.1. Espace préhilbertien réel, espace euclidien

Définition (espace préhilbertien réel, espace euclidien)
Un R-ev E muni d’un produit scalaire est dit préhilbertien réel.
Un espace préhilbertien réel de dimension finie est dit euclidien.

Proposition (produit scalaire canonique sur Rn )
Le produit scalaire canonique sur Rn est défini par
n
(
X x = (x1 , . . . , xn )
(x | y) = xi yi , où
i=1
y = (y1 , . . . , yn )

Notation matricielle : si on note X, Y les matrices-colonne associées à x et y,
alors (x | y) = X t Y .


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 3.1. Produit scalaire et norme associée 3.1.1. Espace préhilbertien réel, espace euclidien


3.1.1. Espace préhilbertien réel, espace euclidien
Proposition (produit scalaire canonique sur Mn,p (R))
Le produit scalaire canonique sur Mn,p (R) est (A | B) = tr (At B)
n Xp
X
Pour A = (ai,j ) et B = (bi,j ), on a : (A | B) = aij bij
i=1 j=1


Proposition (un produit scalaire usuel sur C0 ([a, b], R))
Soit C0 ([a, b], R) l’ev des fonctions continues [a, b] → R (a < b).
Z b
On définit un produit scalaire : (f | g) = f (t) g(t) dt
a

On peut généraliser avec une  fonction poids  ω, continue positive sur [a, b]
(ne pouvant s’annuler qu’en des points isolés).
Z b
On pose alors : (f | g) = f (t) g(t) ω(t) dt.
a

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 3.1. Produit scalaire et norme associée 3.1.1. Espace préhilbertien réel, espace euclidien


3.1.1. Espace préhilbertien réel, espace euclidien

Proposition (inégalité de Cauchy-Schwarz, et cas d’égalité)
Soit E un espace préhilbertien réel.
On a l’inégalité dite  de Cauchy-Schwarz  :
∀ (x, y) ∈ E 2 , (x | y)2 ≤ (x | x) (y | y)
Il y a égalité dans ce résultat si et seulement si x et y sont liés.

Exercice
Soit A, B deux matrices symétriques réelles d’ordre n.

2
Montrer que tr(AB) ≤ tr(A2 ) tr(B 2 ).
Qu’obtient-on par exemple si B = In ? Cas d’égalité ?


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 3.1. Produit scalaire et norme associée 3.1.2. Norme associée à un produit scalaire


3.1.2. Norme associée à un produit scalaire

Définition (norme associée à un produit scalaire)
Soit E un espace préhilbertien réel.
p
Pour tout x de E, on note kxk = (x | x) ( norme de x ).
L’application x 7→ kxk est dite norme associée au produit scalaire.

Avec cette notation, l’inégalité de Cauchy-Schwarz devient :
∀ (x, y) ∈ E 2 , |(x | y)| ≤ kxk kyk

Proposition (un développement usuel)
Soit E un espace préhilbertien réel.
Pour tous x, y de E, et tous réels α, β on a :
kαx + βyk2 = α2 kxk2 + 2 αβ (x | y) + β 2 kyk2

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 3.1. Produit scalaire et norme associée 3.1.2. Norme associée à un produit scalaire


3.1.2. Norme associée à un produit scalaire
(
kx + yk2 = kxk2 + 2 (x | y) + kyk2
Cas particuliers :
kx − yk2 = kxk2 − 2 (x | y) + kyk2
Par addition, on en déduit l’identité du parallélogramme :
∀ (x, y) ∈ E 2 , kx + yk2 + kx − yk2 = 2 kxk2 + kyk2



Exercice
Soit E un espace préhilbertien réel. Montrer que :
∀ (x, y) ∈ E 2 , 2 + kx + yk2 ≤ 2(1 + kxk2 )(1 + kyk2 )

Proposition (identité de polarisation)
Soit E un espace préhilbertien réel. Pour tous x, y de E, on a :
1
kx + yk2 − kxk2 − kyk2


(x | y) =
2

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 3.1. Produit scalaire et norme associée 3.1.2. Norme associée à un produit scalaire


3.1.2. Norme associée à un produit scalaire
Proposition (propriétés de la norme associée à un produit scalaire)
Soit E un espace préhilbertien réel.
• pour tout x de E, on a kxk ≥ 0 et : kxk = 0 ⇔ x = 0
• pour tout x de E, et tout réel λ, on a : kλxk = |λ| kxk
• pour tous x, y on a l’inégalité triangulaire : kx + yk ≤ kxk + kyk
C’est une égalité ⇐⇒ si x et y sont  positivement liés .
• pour tous x, y de E : kxk − kyk ≤ kx ± yk ≤ kxk + kyk

Definition (vecteurs unitaires dans un espace préhilbertien réel)
Un vecteur x de E est dit unitaire (ou encore normé) si kxk = 1.
x
Si x 6= 0, les seuls vecteurs unitaires de Rx sont ± .
kxk

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 3.1. Produit scalaire et norme associée 3.1.2. Norme associée à un produit scalaire


3.1.2. Norme associée à un produit scalaire
Retour sur deux exemples de référence
Dans Rn avec son produit scalaire canonique :
n
X 1/2
Pour tout x = (x1 , . . . , xn ), on a kxk = x2i
i=1
n n n
X
2 X X
Cauchy-Schwarz s’écrit : xi y i ≤ x2i yi2
i=1 ...