Chapitre 1
Compléments d’algèbre linéaire

Jean-Michel Ferrard


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 Table des matières du chapitre 1


Table des matières du chapitre 1



1.1. Produits et sommes d’espaces vectoriels
1.2. Matrices et endomorphismes
1.3. Calculs de déterminants
1.4. Formes linéaires et hyperplans




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 1.1. Produits et sommes d’espaces vectoriels


1.1. Produits et sommes d’espaces vectoriels



1.1.1. Produit d’un nombre fini d’EV
1.1.2. Somme d’un nombre fini de SEV
1.1.3. Décomposition d’un EV en somme directe
1.1.4. Dimension d’une somme de SEV de dim finie
1.1.5. En dimension finie, bases et sommes directes
1.1.6. Endomorphismes et sommes directes




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 1.1. Produits et sommes d’espaces vectoriels 1.1.1. Produit d’un nombre fini d’EV


1.1.1. Produit d’un nombre fini d’EV


Définition (espace vectoriel produit)

Soit (Ei )1≤i≤p une famille de p espaces vectoriels sur K.
p
(
x = (x1 , . . . , xi , . . . , xp ) Y
Pour λ ∈ K et de E = Ei ,
y = (y1 , . . . , yi , . . . , yp ) i=1
(
x + y = (x1 + y1 , . . . , xi + yi , . . . , xp + yp )
on pose :
λx = (λx1 , . . . , λxi , . . . , λxp )
Muni de ces opérations, E est un K-espace vectoriel.
On l’appelle l’espace vectoriel produit de E1 , E2 , . . . , En .



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 1.1. Produits et sommes d’espaces vectoriels 1.1.1. Produit d’un nombre fini d’EV


1.1.1. Produit d’un nombre fini d’EV



Proposition (dimension d’un produit d’EV de dimension finie)
Soit (Ei )1≤i≤p une famille de p espaces vectoriels sur K.
On suppose de plus que chaque espace Ei est de dimension finie.
Alors leur produit cartésien est de dimension finie.
Y p  X p
Plus précisément : dim Ei = dim Ei .
i=1 i=1




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 1.1. Produits et sommes d’espaces vectoriels 1.1.2. Somme d’un nombre fini de SEV


1.1.2. Somme d’un nombre fini de SEV

Definition (somme d’un nombre fini de sous-espaces vectoriels)
Soit E un K-espace vectoriel.
Soit (Fi )1≤i≤p une famille de p sous-espaces de E.
p n p
X X
On note Fi = x = xi , ∀ i ∈ J1, pK, xi ∈ Fi }.
i=1 i=1


Proposition (caractérisation de la somme de p sous-espaces)
p
X
Fi est le plus petit sous-espace de E contenant tous les Fi .
i=1 p [p 
X
En d’autres termes, Fi = Vect Fi
i=1 i=1


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1.1.2. Somme d’un nombre fini de SEV

Proposition (somme directe de p sous-espaces vectoriels)
Soit (Fi )1≤i≤p une famille de p sous-espaces de E.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
p p
X X
• Si x ∈ Fi , l’écriture x = xi , avec xi ∈ Fi , est unique.
i=1 i=1
p
X

• Pour tous xi ∈ Fi : xi = 0 ⇒ ∀ i ∈ J1, pK, xi = 0
i=1
j−1
X 
• Pour tout j de J2, pK , Fi ∩ Fj = {0}
p i=1 p
X M
Dans ce cas, on dit que Fi est directe et on la note Fi .
i=1 i=1


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1.1.2. Somme d’un nombre fini de SEV

La somme F + G est directe ⇔ F ∩ G = {0}.
Ne jamais dire que F + G est directe ⇔ F ∩ G = ∅
p
X X
Si Fi est directe, et si J ⊂ J1, pK, alors Fj est directe.
i=1 j∈J
En particulier, pour tous i 6= j, la somme Fi ∩ Fj est directe.
Attention, la réciproque est fausse pour p ≥ 3.
p p
X
A fortiori, Fi = {0} n’implique pas que Fi est directe !
i=1 i=1
p p
X X
Fi est directe ⇔ ϕ : (x1 , . . . , xp ) 7→ xi est injective.
i=1 i=1


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1.1.2. Somme d’un nombre fini de SEV
p
X
La somme F = Fi ne dépend pas de l’ordre des Fi .
i=1

Proposition (associativité des sommes directes)
p
X
On suppose que F = Fi est directe.
i=1
M
Soit I1 , . . . , Iq une partition de I = J1, pK. Soit Gk = Fi .
q q i∈Ik
X M
Alors Gk est directe, et on a : F = Gk .
k=1 k=1

Par exemple :
(F1 ⊕ F2 ) ⊕ (F3 ⊕ F4 ⊕ F5 ) = F1 ⊕ (F2 ⊕ F3 ) ⊕ (F4 ⊕ F5 )

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1.1.2. Somme d’un nombre fini de SEV



Exercice
Soit A, B, C, D des sous-espaces vectoriels de E.
Montrer l’équivalence des deux propositions :
1 La somme A + B + C + D est directe.
2 On a les égalités :
(A + B) ∩ (C + D) = (A + C) ∩ (B + D) = (A + D) ∩ (B + C) = {0}.




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 1.1. Produits et sommes d’espaces vectoriels 1.1.3. Décomposition d’un EV en somme directe


1.1.3. Décomposition d’un EV en somme directe


Définition (rappel : sous-espaces supplémentaires)
Soit F, G deux sous-espaces d’un K-espace vectoriel E.
(
E =F +G
On dit que F et G sont supplémentaires si
F ∩ G = {0}
Cela équivaut à E = F ⊕ G.
Cela équivaut à : ∀ x ∈ E, ∃ ! y ∈ F, ∃ ! z ∈ G, x = y + z.

On dit que F (resp. G) est un supplémentaire de G (resp. F ).
Dire que F et G sont supplémentaires dans E, c’est donc dire que l’application
(u, v) 7→ u + v est un isomorphisme de F × G sur E.


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1.1.3. Décomposition d’un EV en somme directe


Proposition (existence d’un supplémentaire)
Soit F un sous...