Terminale S
Les nombres complexes Mathématiques




I
La notion de nombre complexe
A L'ensemble des nombres complexes
DÉFINITION Nombre i
On admet qu'il existe un ensemble de nombres, noté C, qui contient l'ensemble des nombres réels
R, véri ant les propriétés suivantes :
C contient un nombre i tel que i2 = −1.
Tous les éléments de C s'écrivent sous la forme a + ib où a et b sont des nombres réels.
C est muni de l'addition et de la multiplication qui possèdent les mêmes propriétés que dans
l'ensemble des nombres réels.
Cet ensemble est appelé l'ensemble des nombres complexes.
PROPRIÉTÉ
Les opérations dans C obéissent aux mêmes règles de calcul que dans R.


B La forme algébrique
THÉORÊME Forme algébrique
L'écriture z = x + iy (où x et y sont des réels) est appelée forme algébrique de z. Elle est unique.
EXEMPLE
Le nombre complexe z = 12 − 4i est écrit sous forme algébrique.
DÉFINITION Parties réelle et imaginaire
Soit un nombre complexe z = x + iy , où x et y sont des réels :
On appelle partie réelle de z, notée Re (z ), le réel x.
On appelle partie imaginaire de z, notée Im (z ), le réel y.

EXEMPLE
Soit le nombre complexe z = 12 − 4i :
La partie réelle du nombre z est : Re (z ) = 12
La partie imaginaire du nombre z est : Im (z ) = −4
THÉORÊME Nombres complexes égaux
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont même partie réelle et même partie
imaginaire.
DÉFINITION Le nombre z est réel si et seulement si Im (z ) = 0.
Le nombre z est imaginaire pur si et seulement si Re (z ) = 0.
EXEMPLE
Soit z = −6. Im (z ) = 0 et donc z ∈ R.

EXEMPLE
Soit z = 5i. Re (z ) = 0 et donc z est un imaginaire pur.


On note iR l'ensemble des nombres complexes imaginaires purs.
REMARQUE


THÉORÊME Inverse d'un nombre complexe


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Soit z un nombre complexe non nul. Il existe un unique nombre complexe z ′ tel que zz ′ = 1.
1
Ce nombre est l'inverse de z , noté .
z
EXEMPLE
L'inverse de i est −i :

i × (−i) = −i2 = − (−1) = 1


C Le conjugué et le module

1. Le conjugué
DÉFINITION Conjugué
Soit un nombre complexe z = x + iy , où x et y sont des réels. On appelle conjugué de z, noté zˉ, le
complexe :
zˉ = x − iy
EXEMPLE
2 − 2i = 2 + 2i

EXEMPLE
4i = −4i

EXEMPLE
2=2
PROPRIÉTÉ
Soient z et z ′ deux nombres complexes :

z=z
z + z′ = z + z′
zz ′ = zz ′
Si z ′ est non nul :
z z
( ′) = ′
z z
Pour tout entier relatif n (avec z non nul si n ⩽ 0):
z n = (z)n
EXEMPLE

(3 + i) (5 − 8i) = (3 + i) × (5 − 8i) = (3 − i) (5 + 8i) = 15 + 24i − 5i + 8 =
23 + 19i

EXEMPLE
2 2 2 2
1−i 1−i 1−i 1+i
( ) =( ) =( ) =( )
1+i 1+i 1+i 1−i
PROPRIÉTÉ
Soit z un nombre complexe.
z + z = 2Re (z )

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z − z = 2i Im (z )
PROPRIÉTÉ
Soit z un nombre complexe.
z est réel ⇔ z = z
z est imaginaire pur ⇔ z = −z

2. Le module
DÉFINITION Module
Soit un nombre complexe z = x + iy , où x et y sont des réels. On appelle module de z, noté ∣z∣, le
réel :

∣z ∣ = x2 + y 2
EXEMPLE

∣1 + 2i∣ = 12 + 22 = 1+4 = 5

EXEMPLE

∣ − 3i∣ = 02 + (−3)2 = 0+9 = 9=3


Ne pas confondre module et valeur absolue.
PIÈGE

PROPRIÉTÉ
Soient z et z ′ deux nombres complexes. On a :

z z = ∣z∣2
∣z∣ = ∣z ∣
∣z∣ = ∣ − z∣
∣zz ′ ∣ = ∣z∣ × ∣z ′ ∣
Si z ′ est non nul :

∣z∣ ∣z∣
∣ ′∣ = ′
∣ z ∣ ∣z ∣
Pour tout entier relatif n (avec z non nul si n ⩽ 0):
∣z n ∣ = ∣z∣n
EXEMPLE

∣(3 + i) (5 − 8i)∣ = ∣3 + i∣ × ∣5 − 8i∣ = 10 × 89 = 890

EXEMPLE
∣ 1 − i ∣ ∣1 − i∣ 2
∣ ∣=
∣ 1 + i ∣ ∣1 + i∣ = 2
=1
∣ ∣

D La représentation géométrique
DÉFINITION Af xe
Soit un repère orthonormal direct du plan (O; u ; v ). À tout point M de coordonnées (x; y ), on

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associe le nombre complexe z = x + iy :

Le nombre complexe z est appelé af xe du point M (et du vecteur OM ).
Le point M est appelé image du nombre complexe z.
On dé nit ainsi le plan complexe.




PROPRIÉTÉ
Les points M et M', images respectives des nombres complexes z et z dans le plan complexe, sont
symétriques par rapport à l'axe des abscisses.




PROPRIÉTÉ
Le module ∣z∣ du nombre complexe z , af xe du point M, est égal à la distance OM.




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DÉFINITION

Soitu un vecteur du plan de coordonnées (a; b). Alors le nombre complexe z = a + ib est
appelé af xe du vecteur u , et noté z u .
PROPRIÉTÉ
Si A et B sont des points du plan complexe d'af xes zA et zB , alors z
AB
= zB − zA .
Si u et v sont des vecteurs d'af xes z u et z v , le ve...