DYNAMIQUE
Définition
Principe Fondamental de la Dynamique
Appliqué à un solide (S) dans un repère Galiléen (Rg)
Limité aux mouvements simples

Masse du solide
Accélération du
F ext / S  m.aG centre de gravité


M G Fext / S  JG .S / Rg

Matrice d’inertie par rapport Accélération angulaire
au centre de gravité du solide par rapport à
un repère Galiléen.
Notion de repère Galiléen


Repère Galiléen = Repère absolu


Pour la plupart des problèmes de mécanique
générale, on considèrera le repère terrestre
comme repère Galiléen.
PFD: Cas d’un solide en
translation
F ext / S  m.aG

 MG Fext / S  0 car S / Rg  0 pour un m vt
de translati on.



m: masse du solide
aG : vecteur accélération du centre de gravité G du solide
Exemple




Appliquer le PFD au passager du train dans les deux cas suivants:
1. Lorsque le train roule à vitesse constante,
2. Lorsque le train freine.

R0(X0,Y0,Z0) : repère terrestre supposé Galiléen
R1(X1,Y1,Z1) : repère lié au train
R2(X2,Y2,Z2) : repère lié au passager
 Exemple: PFD appliqué au
passager du train
Mouvement de translation donc le PFD s’écrit:
F ext / Passager  m.aG  0

M G Fext / Passager  0
Cas 1: le train roule à vitesse constante

aG ( Passager/ R 0 )  a
 ( Passager/ Train)  a (Train / R 0 )  0

    
0 si passagerimmobile 0 car V  constante




Le problème est alors identique à un problème
F ext / Passager 0
de statique :

M G Fext / Passager  0
 Exemple: PFD appliqué au
passager du train
F ext / Passager  m.aG
Mouvement de translation donc le PFD s’écrit:
M G Fext / Passager  0
Cas 2: le train freine.

aG ( Passager/ R 0 )  a
 ( Passager/ Train)  a (Train / R 0 )  a.x

    
0 si passagerimmobile 0


F (train / Passager)  Fx.x  Fy. y

aG  a.x  m.a.x
 m.a.x FTrain / Passager P  m.a.x
 m.g. y FTrain / Passager m.g. y  m.a.x  0
F
P   m.g . y
Exercice
 PFD: Cas d’un solide en
rotation
F ext / S  m.aG

M G Fext / S  JG .S / Rg


JG  matrice d'inertie
Jxx   ( y ²  z ²).dm Jxy  Jyx   x. y.dm
 Jxx  Jxy  Jxz  S S


JG    Jxy Jyy  Jyz  Jyy   ( x ²  z ²).dm Jyz  Jzy   y.z.dm
  Jxz  Jyz Jzz  R 0 S S


Jzz   ( x ²  y ²).dm Jxz  Jzx   x.z.dm
S S




Moments d’inertie Produits d’inertie
 PFD: Cas particulier d’un solide en
rotation autour d’un axe principal
d’inertie
y0
F ext / S  m.aG  0

M G Fext / S  JG .S / R 0
G
z0
x0  Jxx  Jxy  Jxz   x 
JG .S / R 0   Jyx Jyy  Jyz   y 
  Jzx  Jzy Jzz   z 
0  Jxx 0 0 
or S / R 0   0  et JG    0 Jyy 0  donc JG .S / R 0  Jzz. .z 0
   0 0 Jzz 



PFD pour un solide symétrique /z0 et en
F ext / S 0
rotation autour de z0 :

M G Fext / S  Jzz. .z 0
PFD: Cas d’un solide en rotation
Exemple: Calcul du moments d’inertie d’un cylindre
par rapport à son axe de révolution.
y0



d
G dr dz
x0 
z0 r

Jzz   ( x ²  y ²).dm   r ².dm
S S

or dm   .dv   .r.d .dr.dz
2 R L 1
donc Jzz   .  d . r .dr. dz
3 Jzz   m  R2
2
0 0 0

R4
Jzz    2   L avec   R 2  L  m
4
 Formulaire: moments
d’inertie des volumes
élémentaires




Page 530
PFD: Cas d’un solide en
rotation
Exemple
: Ex. 17 Page 215
Rayon de giration rk
Ju: moment d’inertie du solide par rapport à l’axe


Ju u
rk 
m
uG

Formule de
Huygens G


Ju  JuG  m  d 2 d
Exemple: Rouleau vibrant




Données:
Nmaxi=10 000 tr/min
G Excentration: 3mm
A H
B Masse: m=2kg
=5000 rad/s²

Déterminer les efforts en A et B à vitesse constante ainsi que le couple
démarrage.
Cas des ensembles de
solides
F ext / S  m1.aG1  m 2.aG 2  m3.aG 3  ...

M F A ext / S  AG1  m1.aG1  AG2  m 2.aG 2  ...  JA1.1 / R 0  JA2.2 / R 0  ...


avec JAi  JGi  m.r 2