Cours de statistiques
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Cycle ingénieur 1 année - ESME Sudria


2019-2020
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Table des matières

1 Estimation ponctuelle 5
1.1 Notion d'estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Critères de qualité d'un estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Etude d'estimateurs classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Cas gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Méthodes de construction d'estimateurs 11
2.1 Méthode du maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Méthode des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Intervalles de conance 15
3.1 Principe et construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Estimation de m avec σ 2 connu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Estimation de m avec σ 2 inconnu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 Estimation de σ 2 avec m connu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.5 Estimation de σ 2 avec m inconnu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.7 Tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.7.1 Table des fractiles de la loi normale centrée réduite . . . . 22
3.7.2 Table des fractiles de la loi du khi-deux . . . . . . . . . . 23
3.7.3 Table des fractiles de la loi de Student . . . . . . . . . . . 24




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4 TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 1

Estimation ponctuelle

1.1 Notion d'estimateur

Dans la suite de cette section et toute la suivante, X désigne une variable
aléatoire dont la loi dépend d'un certain paramètre θ appartenant à un certain
intervalle I de IR.
Dénition 1.1.1. Soit n ∈ IN∗ . Soient X1 , . . . , Xn n variables aléatoires i.i.d.
(indépendantes et identiquement distribuées) de même loi que X . On dit que la
n-uplet (X1 , . . . , Xn ) est un n-échantillon de X .

Dénition 1.1.2. Soit n ∈ IN∗ . Soient (X1 , . . . , Xn ) un n-échantillon de X
et ϕ : IR → IR. La variable aléatoire ϕ(X1 , . . . , Xn ) est une statistique de
n

l'échantillon (X1 , . . . , Xn ).
Dénition 1.1.3. Soit (Xn )n∈IN∗ une suite de variables aléatoires i.i.d. de
même loi que X . Soit, pour tout n ∈ IN∗ , une statistique Tn du n-échantillon
(X1 , . . . , Xn ) de X à valeurs dans l'intervalle I . On dit alors que (Tn )n∈IN∗ est
une suite d'estimateurs du paramètre θ, ou encore que, pour tout n ∈ IN∗ , Tn
est un estimateur de θ. Toute réalisation de la variable aléatoire Tn est alors
une estimation du paramètre θ.

1.2 Critères de qualité d'un estimateur

Dénition 1.2.1. Soit (Tn )n∈IN une suite d'estimateurs de θ. Pour tout n ∈
∗

IN∗ , le biais (s'il existe) de l'estimateur Tn est déni par la quantité E[Tn ] − θ.
Lorsque son biais est nul, i.e. lorsque E[Tn ] = θ, on dit que l'estimateur Tn est
sans biais. Lorsque
lim E[Tn ] = θ,
n→+∞

la suite d'estimateurs (Tn )n∈IN∗ est dite asymptotiquement sans biais.
Dénition 1.2.2. Une suite d'estimateurs (Tn )n∈IN de θ est dite convergente
∗

si la suite de variables aléatoires (Tn )n∈IN∗ converge en probabilité vers θ, i.e. si
∀ε > 0, lim IP(|Tn − θ| > ε) = 0.
n→+∞


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6 CHAPITRE 1. ESTIMATION PONCTUELLE

Remarque 1.2.1. D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, il sut que
limn→+∞ V[Tn ] = 0 pour qu'une suite (Tn )n∈IN∗ d'estimateurs sans biais soit
convergente.
Proposition 1.2.1. Soit (Tn )n∈IN une suite d'estimateurs de θ.
∗


1) Si (Tn )n∈IN∗ est une suite d'estimateurs sans biais, alors elle est asymp-
totiquement sans biais.
2) Si (Tn )n∈IN∗ est une suite d'estimateurs convergente, alors elle est asymp-
totiquement sans biais.

1.3 Etude d'estimateurs classiques

Dans cette section, X est une variable aléatoire dont on souhaite estimer le
(ou les) paramètre(s) dénissant sa loi de probabilité, et (Xn )n∈IN∗ est une suite
de variables aléatoires i.i.d. de même loi que X .
Dénition 1.3.1. Supposons que X est une variable aléatoire de loi d'espé-
rance m inconnue. Sa moyenne empirique est donnée par la suite (X n )n∈IN ∗

d'estimateurs de m dénie, pour tout n ∈ IN∗ , par
n
1X
Xn = Xk .
n
k=1

Propriétés 1.3.1. Pour tout n ∈ IN∗ ,
σ2
E[X n ] = m et V[X n ] = .
n

En particulier, (X n )n∈IN∗ est une suite d'estimateurs sans biais et conver-
gente.
Dénition 1.3.2. Supposons que X est une variable aléatoire de loi d'espérance
m connue et de variance σ 2 inconnue. Sa variance empirique (cas m connu)
est donnée par la suite (Sn2 )n∈IN∗ d'estimateurs de σ 2 dénie, pour tout n ∈ IN∗ ,
par
n
1X
Sn2 = (Xk − m)2 .
n
k=1

On notera Sn = Sn2 .
p

Propriétés 1.3.2. Pour tout n ∈ IN∗ ,
µ4 − σ 4
E[Sn2 ] = σ 2 et V[Sn2 ] = ,
n
où µ4 = E[(X − m)4 ]. En particulier, (Sn2 )n∈IN∗ est une suite d'estimateurs sans
biais et convergente.
Dénition 1.3.3. Supposons que X est une variable aléatoire de loi d'espérance
m et variance σ 2 inconnues. Sa variance empirique (cas m inconnu) est
1.4. CAS GAUSSIEN 7
2
donnée par la suite (S n )n∈IN∗ d'estimateurs de σ 2 dénie, pour tout n ∈ IN∗ ,
par
n
2 1X
Sn = (Xk − X n )2 .
n
k=1


Sa variance empirique corrigée est donnée par la suite (S n )n∈IN,n≥2
∗2

d'estimateurs de σ 2 dénie, pour tout n ∈ IN tel que n ≥ 2, par
n
∗2 n 2 1 X
Sn = Sn = (Xk − X n )2 .
n−1 n−1
k=1

q q
2 ∗ ∗2
On notera S n = S n et S n = Sn .

Propriétés 1.3.3. Pour tout n ∈ IN∗ ,
2 n−1 2 2
1
E[S n ] = σ et V[S n ] = O .
n n

Pour tout n ∈ IN∗ tel que n ≥ 2,
∗2 ∗2
1
E[S n ] = σ 2 et V[S n ] = O .
n
2
En particulier, (S n )n∈IN∗ est une suite d'estimateurs asymptotiquement sans
∗2
biais et convergente, et (S n )n∈IN,n≥2 est une suite d'estimateurs sans biais et
convergente.
Dénition 1.3.4. Supposons que X est une variable aléatoire de fonction de
répartition FX . Sa fonction de répartition empirique est donnée, pour tout
x ∈ IR par la suite (Fn (x))n∈IN∗ d'estimateurs de FX (x) dénie, pour tout
n ∈ IN∗ , par
n
1X
Fn (x) = 1{Xk ≤x} .
...