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TABLE DES MATIÈRES



1.3 Théorèmes de comparaison


Théorème 3 : Soit trois suites (un ), (vn ) et (wn ). Si à partir d’un certain rang,
on a :

1) Théorème d’encadrement ou "des gendarmes"
vn 6 un 6 wn et si lim vn = ℓ et lim wn = ℓ alors lim un = ℓ
n→+∞ n→+∞ n→+∞

2) Théorème de comparaison
• un > vn et si lim vn = +∞ alors lim un = +∞
n→+∞ n→+∞
• un 6 wn et si lim wn = −∞ alors lim un = −∞
n→+∞ n→+∞



Pré-requis : Définition de la limite infinie d’une suite
Démonstration : Seule la preuve du théorème de comparaison en +∞ est
exigible.
On sait que : lim vn = +∞, donc pour tout réel A, il existe un entier N tel que
n→+∞
si n > N alors vn ∈] A; +∞[
Comme un > vn à partir du rang p donc si n > max( N, p) alors un ∈ ] A; +∞[
On a donc bien : lim un = +∞
n→+∞




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 1. SUITES



1.4 Limite d’une suite géométrique


Théorème 4 : Soit q un réel. On a les limites suivantes :
• Si q > 1 alors lim qn = +∞
n→+∞
• Si −1 < q < 1 alors lim qn = 0
n→+∞
• Si q 6 −1 alors lim qn n’existe pas
n→+∞


Pré-requis : Inégalité de Bernoulli et théorème de comparaison en +∞
Démonstration : Seule la preuve de la première limite est exigible
D’après l’inégalité de Bernoulli, on a :

∀ a > 0 (1 + a)n > 1 + na

On pose q = 1 + a donc si a > 0 on a q > 1. L’inégalité devient :

qn > 1 + na

Comme a > 0 on a : lim 1 + na = +∞
n→+∞
D’après le théorème de comparaison on a : lim qn = +∞
n→+∞
1
Remarque : Pour démontrer la deuxième limite, on peut poser Q = , avec
|q|
0 < |q| < 1 donc Q > 1 . On revient alors à la première limite et l’on conclut avec
le quotient sur les limites.




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 2. ANALYSE



2 Analyse
2.1 Unicité de la fonction exponentielle


Théorème 6 : Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que :

f′ = f et f (0) = 1

On nomme cette fonction exponentielle et on la note : exp


Démonstration : L’existence de cette fonction est admise.
Démontrons l’unicité.
• La fonction exponentielle ne s’annule pas sur R.
Soit la fonction ϕ définie sur R par : ϕ( x ) = f ( x ) f (− x ).
Montrons que la fonction ϕ est constante. Pour cela dérivons ϕ.

ϕ′ ( x ) = f ′ ( x ) f (− x ) − f ( x ) f ′ (− x )

Comme f ′ = f , on a :
= f ( x ) f (− x ) − f ( x ) f (− x )
=0

Comme ϕ′ = 0 alors la fonction ϕ est constante. Donc :

∀x ∈ R ϕ ( x ) = ϕ (0) = f 2 (0) = 1

On en déduit alors : f ( x ) f (− x ) = 1, donc la fonction f ne peut s’annuler.
• Unicité
On suppose que deux fonctions f et g vérifient les conditions du théorème, soit
f = f ′ , g′ = g et f (0) = g(0) = 1. La fonction g ne s’annule donc pas, on définit
f
alors sur R la fonction h par h = . On dérive h :
g

′ f ′ g − f g′ fg− fg
h = 2
= =0
g g2

f (0)
La fonction h est donc constante et h( x ) = =1
g (0)
f (x)
On a donc : ∀ x ∈ R, = 1.
g( x )
On en déduit que f = g. L’unicité est ainsi prouvé.




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 2. ANALYSE



2.3 Limites en l’infini de l’exponentielle


Théorème 8 : On a les limites suivantes :
lim e x = +∞ et lim e x = 0
x →+∞ x →−∞



Démonstration : Soit la fonction f suivante : f ( x ) = e x − x.
Dérivons la fonction f : f ′ ( x ) = e x − 1
Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, on a :

f ′ ( x ) > 0 ⇔ x > 0 et f ′ (x) < 0 ⇔ x < 0

On obtient alors le tableau de variation suivant :

x −∞ 0 +∞
f ′ (x) − 0 +

f (x)
1


Du tableau de variation on en déduit : ∀x ∈ R f ( x ) > 0 donc ex > x

or on sait que lim x = +∞ par comparaison on a :
x →+∞

lim e x = +∞
x →+∞

En faisant le changement de variable X = − x, on obtient :

1
lim e x = lim e−X = lim =0
x →−∞ X →+∞ X →+∞ e X




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 4. PROBABILITÉ. STATISTIQUE



4 Probabilité. Statistique
4.1 Indépendance


Théorème 19 : Si les évènement A et B sont indépendants, alors il en est de
même pour :
1) A et B 2) A et B 3) A et B


Pré-requis : A et B indépendants si et seulement si P( A ∩ B) = P( A) P( B).
Probabilités totales.
Démonstration :

1) A et A forment une partition de l’univer Ω, donc :

P( B) = P( A ∩ B) + P( A ∩ B)

A et B sont indépendants donc : P( A ∩ B) = P( A) P( B).
On a donc :

P( B) = P( A) P( B) + P( A ∩ B) ⇔ P( A ∩ B) = P( B)(1 − P( A)) = P( B) P( A)

A et B sont indépendants.
2) La démonstration est analogue (échanger A et B)

3) D’après 1) A et B sont indépendants, donc d’après 2), A et B sont indépen-
dants.




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 4. PROBABILITÉ. STATISTIQUE



4.3 Expérance d’une loi exponentielle


Théorème 21 : Si X suit une loi exponentielle de paramètre λ alors son espé-
rance mathématique vaut : 1
E( X ) =
λ


Démonstration : D’après la définition, en posant g(t) = λte−λt , on a :
Z x
E( X ) = lim g(t) dt
x →+∞ 0

Il faut trouver une primitive de la fonction g, pour cela on dérive la fonction g
1 ′
g′ (t) = λe−λt − λ2 te−λt = λe−λt − λg(t) ⇔ g(t) = e−λt − g (t)
λ
On a alors :
x
1 1 −λt 1
Z x Z x  
−λt
g(t) dt = e − g′ (t) dt = − e − g(t)
0 0 λ λ λ 0
1 
−λt
 1 
−λt −λt

= −e − g ( x ) + 1 + g (0) = −e − λxe +1
λ λ
On pose : Y = −λx , on a alors :
Si x → +∞ alors Y → −∞
D’où : lim e−λx = lim eY = 0 et lim λxe−λx = lim −YeY = 0
x →+∞ Y →−∞ x →+∞ Y →−∞
Par somme et produit, on a alors :

1
Z x
lim g(t) dt =
x →+∞ 0 λ




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 TABLE DES MATIÈRES



4.4 Loi normale - Probabilité d’intervalle centré en 0


Théorème 22 : X est une variable aléatoire qui suit un loi normale centrée
réduite. Soit α un réel de l’intervalle ]0 ;1[. Il existe un unique réel strictement
positif uα tel que :
P(−uα 6 X 6 uα ) = 1 − α


Pré-requis : Loi normale centrée réduite et théorème des valeurs intermédiaires
Démonstration : On cherche un réel x strictement positif tel que :


P(− x 6 X 6 x ) = 1 − α
Φ( x ) − Φ(− x ) = 1 − α
Φ( x ) − 1 + Φ( x ) = 1 − α α 1−α α
2Φ( x ) − 1 = 1 − α 2 2
α
Φ( x ) = 1 − u−α O uα
2

On sait que la fonction Φ est continue et strictement croissante sur ]0; +∞[. De
plus :
1
lim Φ( x ) = Φ(0) = et lim Φ( x ) = 1
x →0 2 x →+∞
1 α
et 0 < α < 1 ⇔ < 1− < 1
2 2
donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique x = uα
α
strictement positif tel que Φ( x ) = 1 −
2




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 4. PROBABILITÉ. STATISTIQUE



4.5 Intervalle de fluctuation


Théorème 23 : Si la varialble aléatoire Xn suit une loi binomiale B (n, p) alors
pour tout réel α de ]0 ;1[, on a :
" #
p (1 − p ) p (1 − p )
  p p
Xn
lim P ∈ In = 1 − α où In = p − uα √ ; p + uα √
n→+∞ n n n

uα étant le nombre tel que P(−uα 6 Z 6 uα ) = 1 − α lorsque Z suit ine loi
normale centrée réduite.

Remarque : le mot asymptotique vient du passage à la limite de l’intervalle In
Xn − np
Démonstration : On pose Zn = p
np(1 − p)
D’après le théorème Moivre-Laplace : lim P(−uα 6 Zn 6 uα ) suit une loi nor-
n→+∞
male centrée réduite de variable aléatoire Z.
On sait d’après les propriétés de la loi normale centrée réduite que pour tous α
de ]0 ;1[, il existe un unique réel strictement positif uα tel que :

P(−uα 6 Z 6 uα) = 1 − α

De plus :
−uα 6Zn 6 uα
q q
−uα np(1 − p) 6 Xn − np 6 uα np(1 − p)
q q
np − uα np(1 − p) 6Xn 6 np + uα np(1 − p)

p (1 − p ) Xn p (1 − p )
p p
np − uα √ 6 6 p + uα √
n n n

 
Xn
Donc lim P ∈ In = 1−α
n→+∞ n




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 TABLE DES MATIÈRES



5.2 Droite orthogonale à un plan


Théorème 26 : Une droite ∆ est orthogonale à un plan P si, et seulement si,
il existe deux droites sécantes de P perpendiculaires à ∆.


Démonstration :
• ⇒ Si ∆ est orthogonale à P donc ∆ est orthogonale à toute droite de P donc
à deux sécantes de P
• ⇐ Soit ~n un vecteur directeur de ∆ et ~u1 et ~u2 les vecteurs directeurs respectifs
des deux sécantes de P : d1 et d2 .
−
→ − → −
→ − →
1) ∆ est perpendiculaire à d1 et d2 donc : n · u1 = 0 et n · u2 = 0
2) d1 et d2 sont sécantes donc les vecteurs u~1 et u~2 ne sont pas colinéraires, ils
forment donc un couple de vecteurs directeur du plan P.
3) Soit ~v un vecteur directeur d’une droite quelconque de P, comme u~1 et u~2
forme un couple de vecteurs directeurs de P, on a : ~v = a u~1 + b u~2 avec
( a; b) ∈ R2 .
−
→ −
→ −
→ −
→
4) n · ~v = n · ( a u~1 + b u~2 ) = a n · u~1 + b n · u~2 = 0 d’après le 1)
∆ est donc orthogonale à toute droite de P, donc ∆ est orthogonale à P




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 5. GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE



5.3 Équation cartésienne d’un plan


Théorème 27 : L’équation cartésienne d’un plan est de la forme :
ax + by + cz + d = 0 avec a, b et c non tous nul
Le vecteur ~n( a; b; c) est alors un vecteur normal au plan.


Démonstration :
• ⇒ Soit un plan P, un point A de P, un vecteur normal ~n( a; b; c) de P. Un
point M( x; y; z) du plan P vérifie alors :
−−→
AM · ~n = 0
a ( x − xA ) + b ( y − yA ) + c ( z − zA ) = 0
ax + by + cz − ( ax A + by A + cz A ) = 0

On pose d = −( ax A + by A + cz A ), on a alors
ax + by + cz + d = 0

• ⇒ Si on a l’équation : ax + by + cz + d = 0, avec a, b et c non tous nul, on peut
toujours trouver un point A( x0 ; y0 ; z0 ) qui verifie l’équation
ax + by + cz + d = 0
On a alors d = −( ax0 + by0 + cz0 ), par exemple, si a 6= 0, on peut prendre
d
x0 = − et y0 = z0 = 0.
a
Si M( x; y; z) vérifie l’équation, alors : ax + by + cz + d = 0, et en remplaçant
d = −( ax0 + by0 + cz0 ), on obtient alors :
a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) + c ( z − z0 ) = 0
−−→
Cette égalité traduit alors, en prenant ~n( a; b; c), la relation AM · ~n = 0. Ce qui
montre que le plan passe par M et a pour vecteur normal ~n.
Remarque : L’équation cartésienne n’est pas unique. On peut toujours multiplier
les coefficients a, b et c par un facteur k non nul.




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