Chapitres 5 : la fonction exponentielle 25 novembre 2016




Contrôle de mathématiques
Mardi 29 novembre 2016


Exercice 1
ROC (3 points)
On pose la fonction f définie sur R par : f (x) = e x − x.
1) Étudier les variations de f et montrer que : ∀x ∈ R, f (x) > 0.
2) En déduire que lim e x = +∞.
x→+∞
3) En faisant un changement de variable astucieux démontrer que : lim e x = 0.
x→−∞


Exercice 2
Propriétés, équation et inéquation (3 points)
On justifiera chaque étape des résolutions suivantes.

1) Résoudre dans R, les équations suivantes :
2
a) e x +x = 1 b) e2x−1 × e x+5 = e3−2x
1
2) Résoudre dans R, l’inéquation suivante : e2x+3 < .
e

Exercice 3
Limite et dérivée. (2 points)

1) En mettant en évidence les limites de référence, déterminer : lim (2x + 1)e x .
x→−∞
2
2) Déterminer la dérivée de la fonction f définie sur R par : f (x) = xe1−x .

Exercice 4
Fonction (4 points)
3
Soit la fonction f définie sur R par : f (x) = .
4 + 6 e−2x
1) Déterminer les limites de f en +∞ et en −∞.
2) Déterminer la fonction dérivée de la fonction f .
3) En déduire les variations de la fonction f puis dresser son tableau de variation.

Exercice 5
D’après bac (8 points)
Paul, étudiant de 19 ans de corpulence moyenne et jeune conducteur, boit deux verres de
rhum. La concentration C d’alcool (en g.L−1 ) dans son sang est modélisée en fonction du
temps t, exprimé en heure, par la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :
f (t) = 2t e−t

Paul Milan 1 Terminale S
 contrôle de mathématiques


1) Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[.
2) À quel instant la concentration d’alcool dans le sang de Paul est-elle maximale ? Quelle
est alors sa valeur ? Arrondir à 10−2 près.
et
3) Rappeler la limite de lorsque t tend vers +∞ et en déduire celle de f (t) en +∞.
t
Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
4) Paul veut savoir au bout de combien de temps il peut prendre sa voiture. On rap-
pelle que la législation autorise une concentration maximale d’alcool dans le sang de
0, 2 g.L−1 pour un jeune conducteur.
a) Démontrer qu’il existe deux nombres réels t1 et t2 tels que : f (t1 ) = f (t2 ) = 0, 2.
b) Quelle durée minimale Paul doit-il attendre avant de pouvoir prendre le volant en
toute légalité ?
Donner le résultat arrondi à la minute la plus proche. On pourra calculer f (4) et
rentrer la fonction g = f − 0, 2 pour l’algorithme de dichotomie.
5) La concentration minimale d’alcool détectable dans le sang est estimée à 5×10−3 g.L−1 .
a) Justifier qu’il existe un instant T à partir duquel la concentration d’alcool dans le
sang n’est plus détectable.
b) On donne l’algorithme suivant où f est la fonction définie par f (t) = 2t e−t .

Variables : t, p, C : réel
Entrées et initialisation
t prend la valeur 3,5
p prend la valeur 0,25
C prend la valeur 0,21
Traitement
tant que C > 5 × 10−3 faire
t prend la valeur t + p
C prend la valeur f (t)
fin
Sorties : Afficher t

Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en exécutant cet algorithme (à
la main).
Arrondir les valeurs à 10−2 près.
Initialisation Étape 1 Étape 2
p 0,25
t 3,5
C 0,21
Que représente la valeur affichée par cet algorithme ?




paul milan 2 terminale S